EXIMIUS ชุดที่ 2
Transcripts (XeLaTex)
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}
\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry}
\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}
% header & footer
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{EXIMIUS: เซียนคณิตพิชิตโจทย์ จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}
\usepackage{hyperref}
\newcommand{\choices}[4]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}
\newcommand{\choicess}[4]{ \begin{tabular}{p{6cm} l} ก. #1 & ข. #2 \\ ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}
\begin{document}
% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent หนังสือ EXIMIUS: เซียนคณิตพิชิตโจทย์\\
แบบทดสอบชุดที่ 2
\bigskip
\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 17 พฤษภาคม 2552
\bigskip
\noindent \copyright \ สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา
\bigskip
\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย}
\bigskip
\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}
% material
\newpage
\setcounter{page}{1}
\begin{enumerate}
\item ให้จุด \(O\) เป็นจุดตัดของเส้นส่วนสูงใน \(\vartriangle ABC\) ลาก \(CO\) ต่อออกไปตัด \(AB\) และยาวไปจนพบเส้นรอบวงวงกลมที่ล้อมรอบ \(\vartriangle ABC\) ที่จุด \(G\) ถ้า \(AO = 17\) จงหาความยาวของ \(AG\)
\choices{10}{13}{17}{19}
\item โยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลบวกของแต้มลูกเต๋าทั้งสองไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
\choices{\(\frac{5}{12}\)}{\(\frac{6}{12}\)}{\(\frac{7}{12}\)}{\(\frac{8}{12}\)}
\item พิจารณา
\begin{tabular}{c c c c c c c}
& T & R & I & A & M & \\
& & U & D & O & M & + \\
& & M & A & T & H & \\
\hline
1 & 1 & 2 & 3 & 7 & 7 & \\
\hline
\end{tabular}
ถ้าอักษรแต่ละตัว แทนเลขโดด \(1 - 9\) ที่แตกต่างกัน จะมีชุดคำตอบที่สอดคล้องกับผลบวกดังกล่าวทั้งหมดกี่ชุด
\choices{2 ชุด}{4 ชุด }{6 ชุด}{8 ชุด}
\item ให้ \(x_1 , x_2, x_3\) เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับสมการ \(x_1^6 + x_2^4 + x_3^2 + \frac{1}{x_3^2} + \frac{1}{x_2^4} + \frac{1}{x_1^6} = 6\) จงหาค่าน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ \(x_1 + x_2 + x_3\)
\choices{1}{0}{-3}{3}
\item วงกลมขนาดไม่เท่ากันสองวงมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน ถ้าลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุด \(A\) กับ \(B\) ซึ่งเป็นจุดที่แตกต่างกันบนวงกลมใหญ่ แล้ว \(\overline {AB}\) สัมผัสกับวงกลมเล็กพอดี จงหาพื้นที่วงแหวน กำหนดให้ \(\overline {AB}\) มีความยาวเท่ากับ \(k\)
\choices{\(\frac{\pi k^2}{2}\)}{\(\frac{\pi k^2}{4}\)}{\(\frac{\pi k^2}{8}\)}{\(\frac{\pi k^2}{16}\)}
\item เวลา 7:16 น. เข็มสั้นและเข็มยาวทำมุมป้านกันกี่องศา
\choices{114}{122}{130}{138}
\item จงหาผลบวกของจำนวนที่มี 3 หลักทั้งหมด ที่เลขโดดในแต่ละหลักเป็นเลขคู่ (มีทั้งหมด 100 จำนวน)
\choices{54400}{54500}{55400}{55600}
\item พิจารณาระบบสมการ
\(\left\{ \begin{gathered}
a + b + c + d = 5 \hfill \\
a + b - c - d = 7 \hfill \\
a - b + c - d = 9 \hfill \\
a - b - c + d = 12 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
จงหาค่าของ \(\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{6}\)
\choices{\(12\frac{11}{24}\)}{\(12\frac{12}{24}\)}{\(12\frac{13}{24}\) }{\(12\frac{14}{24}\)}
\item ให้ \(a^3 = 2008\) และ \(b^2 = 2551\) เมื่อ \(b > 0\) จงหาจำนวนของจำนวนเฉพาะที่อยู่ระหว่าง \(a\) และ \(b\)
\choices{9 จำนวน}{10 จำนวน}{11 จำนวน}{12 จำนวน}
\item กรวยที่มีรัศมีของฐานยาว \(r\) หน่วย สูงตรง \(h\) หน่วย มีปริมาตรเป็น 4 เท่าของทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว \(h\) หน่วย จงหาความสัมพันธ์ระหว่าง \(r^2\) และ \(h^2\)
\choices{\(r^2 = 2h^2 \)}{\(r^2 = 4h^2 \)}{\(r^2 = 8h^2 \)}{\(r^2 = 16h^2 \)}
\item ให้ \(O\) เป็นจุดกำเนิด กราฟ \(A\) เป็นกราฟเส้นตรงที่มีระยะตัดแกน \(x\) เท่ากับ \(M\), ระยะตัดแกน \(y\) เท่ากับ \(N\) และมีสมบัติต่อไปนี้
\begin{enumerate}[(1)]
\item ผ่านจุดยอดของกราฟ \(y = x^2 - 24x + 129\)
\item ตั้งฉากกับกราฟ \(6x + 5y - 2 = 0\)
\end{enumerate}
จงหาพื้นที่สามเหลี่ยม \(OMN\)
\choicess{275 ตารางหน่วย}{375 ตารางหน่วย}{415 ตารางหน่วย}{435 ตารางหน่วย}
\item พิจารณาข้อความต่อไปนี้
\begin{enumerate}[(1)]
\item \(\sec \theta = \sqrt {1 + \tan ^2 \theta } \) ทุกค่า \(0^ \circ < \theta < 90^ \circ \)
\item เนื่องจาก \(\frac{22}{7}\) เป็นจำนวนตรรกยะ จึงได้ \(\pi\) เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะว่า \(\pi = \frac{22}{7}\)
\item \(\sin ^2 80^ \circ + \cos ^2 80^ \circ \) ไม่สามารถทราบค่าได้ เพราะไม่ทราบค่าของ \(\sin ^2 80^ \circ \) และ \(\cos ^2 80^ \circ \)
\end{enumerate}
ตัวเลือกในข้อใดกล่าวถูกต้องเกี่ยวกับข้อความข้างต้น
\choicess{ไม่มีข้อถูกเลย}{มีข้อถูก 1 ข้อ}{มีข้อถูก 2 ข้อ}{มีข้อถูก 3 ข้อ}
\item ให้ \(m\) เป็นค่าคงตัวที่มีค่ามากกว่าสอง และสมการ \(m^2 - \left( x^2 - x + \frac{5}{2} \right)m - (6x + 1) = 0\) มีรากเพียงรากเดียว จงหาค่าของ \(m^{(1/2)} + (1/2)\)
\choices{1}{2}{3}{4}
\item สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง จุดยอดมีพิกัดอยู่ที่ \((-2, -6), (6, -6)\) จงหาพิกัดของจุดยอดอีกจุดหนึ่ง
\choices{\((2, 4\sqrt 3 - 6)\)}{\((2, 4\sqrt 3 )\)}{\((0, 4\sqrt 3 - 6)\)}{\((0, 4\sqrt 3 )\)}
\newpage
\item ให้
\begin{eqnarray*}
a + b + c + d &= &-2 \\
ab + bc + cd + ac + ad + bd &= &-7 \\
abc + bcd + cda + dab &= &8 \\
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} &= &1
\end{eqnarray*}
จงหาค่าของ \((1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d)\)
\choices{2}{4}{8}{16}
\item มีจำนวน 5 หลักที่หารด้วย 36 ลงตัวทั้งหมดกี่จำนวน โดยที่เลขโดดในแต่ละหลักเป็นเลข 7, 1 หรือ 6
\choices{9 จำนวน}{6 จำนวน}{4 จำนวน}{3 จำนวน}
\item จงหาปริมาตรของรูปทรงที่เกิดจากการหมุนรูปด้านล่าง (ส่วนที่แรเงา) รอบแกนหมุนที่กำหนดให้
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{exm-2-17.png}
\end{center}
\choices{\(2107\pi \)}{\(\frac{4214}{3}\pi \) }{\(\frac{8428}{3}\pi \)}{\(\frac{26488}{3}\pi \)}
\item กำหนดให้ \(A = 3^x + 2 + 3^{ - x} \), \(B = 3^x - 2 + 3^{ - x} \) จงหาค่าของ \(A + B - 2\sqrt {AB} \) ในรูปของ \(x\)
\choices{\(2(3^x )\)}{\(4(3^x )\)}{\(2(3^{ - x} )\)}{\(4(3^{ - x} )\)}
\newpage
\item รูปด้านล่างมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดกี่รูป เมื่อรูปสี่เหลี่ยมรูปเล็กแต่ละรูปเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และไม่นับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{exm-2-19.png}
\end{center}
\choices{242 รูป}{243 รูป}{244 รูป}{245 รูป}
\item กำหนดให้ \(a = \sqrt[3]{55 + 12\sqrt {21}}\) และ \(b = \sqrt[3]{55 - 12\sqrt {21}}\) แล้ว \(a^5 + b^5\) มีค่าเท่าใด
\choices{2524}{2625}{2425 }{2525}
\item จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ \(x^4 + 28x^3 + 305x^2 + 1526x + 2550\) เมื่อ \(x\) เป็นจำนวนจริงใดๆ
\choices{2007}{60}{-60}{-390}
\item สามเหลี่ยม \(ABC\) มี \(AB = 10, AC = 7, BC = 8\) จงหาว่าต้องเลื่อนขนานสามเหลี่ยมตามแนวด้าน \(AB\) ไปเป็นระยะเท่าไร ซึ่งทำให้พื้นที่ของส่วนที่ซ้อนทับกัน (ส่วนที่แรเงา) มีค่าเป็นครึ่งหนึ่งของสามเหลี่ยมเดิม
\begin{center}
\includegraphics[height=4cm]{exm-2-22.png}
\end{center}
\choicess{\(5\) หน่วย}{\(5\sqrt 2 \) หน่วย}{\(10 - 5\sqrt 2 \) หน่วย}{\(\frac{5}{\sqrt 2}\) หน่วย}
\item รถยนต์สองคันวิ่งเข้าหาสี่แยก โดยรถคันแรกวิ่งมาจากถนนด้านทิศตะวันตกของสี่แยก รถคันที่สองวิ่งมาจากถนนด้านทิศใต้ของสี่แยก โดยรถคันที่สองมีความเร็วเป็นสองเท่าของรถคันแรก ถ้าจุดเริ่มต้นของรถคันแรกและคันที่สองอยู่ห่างจากสี่แยก 2 เมตร และ 5 เมตร ตามลำดับ จงหาว่าระยะห่างระหว่างรถทั้งสองคันที่สั้นที่สุดเป็นเท่าไร
\choices{\(\frac{\sqrt 5 }{5}\) เมตร}{\(\sqrt 5 \) เมตร}{\(2\sqrt 5 \) เมตร}{\(5\sqrt 5 \) เมตร}
\item ห้าเหลี่ยม \(ABCDE\) มี \(AB = AE = CD = 2\), \(\angle ABC = \angle DEA = 90^ \circ \) และ \(BC + DE = 2\) จงหาพื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมนี้
\choicess{2 ตารางหน่วย}{\(2\sqrt 5 \) ตารางหน่วย}{3 ตารางหน่วย}{4 ตารางหน่วย}
\item จงหาเศษจากการหาร \(10^{10^1 } + 10^{10^2 } + 10^{10^3 } + \ldots + 10^{10^{716} } \) ด้วย 7
\choices{1}{2}{4}{6}
\end{enumerate}
\end{document}
* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ