EXIMIUS ชุดที่ 2
Transcripts (XeLaTex)
\documentclass[a4paper]{article} \usepackage{fontspec} \usepackage{polyglossia} \setmainfont{Times New Roman} \setsansfont{Arial} \newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK} \newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi} \setdefaultlanguage{thai} \XeTeXlinebreaklocale"th" \usepackage{graphicx} \usepackage{wrapfig} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{latexsym} \usepackage{enumerate} \usepackage{multirow} \usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} \DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10} % header & footer \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhead{} \fancyfoot{} \lfoot{EXIMIUS: เซียนคณิตพิชิตโจทย์ จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}} \rfoot{\thepage} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt} \usepackage{hyperref} \newcommand{\choices}[4]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}} \newcommand{\choicess}[4]{ \begin{tabular}{p{6cm} l} ก. #1 & ข. #2 \\ ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}} \begin{document} % cover page \newpage \thispagestyle{empty} \noindent หนังสือ EXIMIUS: เซียนคณิตพิชิตโจทย์\\ แบบทดสอบชุดที่ 2 \bigskip \noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 17 พฤษภาคม 2552 \bigskip \noindent \copyright \ สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา \bigskip \noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย} \bigskip \noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org} % material \newpage \setcounter{page}{1} \begin{enumerate} \item ให้จุด \(O\) เป็นจุดตัดของเส้นส่วนสูงใน \(\vartriangle ABC\) ลาก \(CO\) ต่อออกไปตัด \(AB\) และยาวไปจนพบเส้นรอบวงวงกลมที่ล้อมรอบ \(\vartriangle ABC\) ที่จุด \(G\) ถ้า \(AO = 17\) จงหาความยาวของ \(AG\) \choices{10}{13}{17}{19} \item โยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลบวกของแต้มลูกเต๋าทั้งสองไม่เป็นจำนวนเฉพาะ \choices{\(\frac{5}{12}\)}{\(\frac{6}{12}\)}{\(\frac{7}{12}\)}{\(\frac{8}{12}\)} \item พิจารณา \begin{tabular}{c c c c c c c} & T & R & I & A & M & \\ & & U & D & O & M & + \\ & & M & A & T & H & \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 7 & 7 & \\ \hline \end{tabular} ถ้าอักษรแต่ละตัว แทนเลขโดด \(1 - 9\) ที่แตกต่างกัน จะมีชุดคำตอบที่สอดคล้องกับผลบวกดังกล่าวทั้งหมดกี่ชุด \choices{2 ชุด}{4 ชุด }{6 ชุด}{8 ชุด} \item ให้ \(x_1 , x_2, x_3\) เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับสมการ \(x_1^6 + x_2^4 + x_3^2 + \frac{1}{x_3^2} + \frac{1}{x_2^4} + \frac{1}{x_1^6} = 6\) จงหาค่าน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ \(x_1 + x_2 + x_3\) \choices{1}{0}{-3}{3} \item วงกลมขนาดไม่เท่ากันสองวงมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน ถ้าลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุด \(A\) กับ \(B\) ซึ่งเป็นจุดที่แตกต่างกันบนวงกลมใหญ่ แล้ว \(\overline {AB}\) สัมผัสกับวงกลมเล็กพอดี จงหาพื้นที่วงแหวน กำหนดให้ \(\overline {AB}\) มีความยาวเท่ากับ \(k\) \choices{\(\frac{\pi k^2}{2}\)}{\(\frac{\pi k^2}{4}\)}{\(\frac{\pi k^2}{8}\)}{\(\frac{\pi k^2}{16}\)} \item เวลา 7:16 น. เข็มสั้นและเข็มยาวทำมุมป้านกันกี่องศา \choices{114}{122}{130}{138} \item จงหาผลบวกของจำนวนที่มี 3 หลักทั้งหมด ที่เลขโดดในแต่ละหลักเป็นเลขคู่ (มีทั้งหมด 100 จำนวน) \choices{54400}{54500}{55400}{55600} \item พิจารณาระบบสมการ \(\left\{ \begin{gathered} a + b + c + d = 5 \hfill \\ a + b - c - d = 7 \hfill \\ a - b + c - d = 9 \hfill \\ a - b - c + d = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right.\) จงหาค่าของ \(\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{6}\) \choices{\(12\frac{11}{24}\)}{\(12\frac{12}{24}\)}{\(12\frac{13}{24}\) }{\(12\frac{14}{24}\)} \item ให้ \(a^3 = 2008\) และ \(b^2 = 2551\) เมื่อ \(b > 0\) จงหาจำนวนของจำนวนเฉพาะที่อยู่ระหว่าง \(a\) และ \(b\) \choices{9 จำนวน}{10 จำนวน}{11 จำนวน}{12 จำนวน} \item กรวยที่มีรัศมีของฐานยาว \(r\) หน่วย สูงตรง \(h\) หน่วย มีปริมาตรเป็น 4 เท่าของทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว \(h\) หน่วย จงหาความสัมพันธ์ระหว่าง \(r^2\) และ \(h^2\) \choices{\(r^2 = 2h^2 \)}{\(r^2 = 4h^2 \)}{\(r^2 = 8h^2 \)}{\(r^2 = 16h^2 \)} \item ให้ \(O\) เป็นจุดกำเนิด กราฟ \(A\) เป็นกราฟเส้นตรงที่มีระยะตัดแกน \(x\) เท่ากับ \(M\), ระยะตัดแกน \(y\) เท่ากับ \(N\) และมีสมบัติต่อไปนี้ \begin{enumerate}[(1)] \item ผ่านจุดยอดของกราฟ \(y = x^2 - 24x + 129\) \item ตั้งฉากกับกราฟ \(6x + 5y - 2 = 0\) \end{enumerate} จงหาพื้นที่สามเหลี่ยม \(OMN\) \choicess{275 ตารางหน่วย}{375 ตารางหน่วย}{415 ตารางหน่วย}{435 ตารางหน่วย} \item พิจารณาข้อความต่อไปนี้ \begin{enumerate}[(1)] \item \(\sec \theta = \sqrt {1 + \tan ^2 \theta } \) ทุกค่า \(0^ \circ < \theta < 90^ \circ \) \item เนื่องจาก \(\frac{22}{7}\) เป็นจำนวนตรรกยะ จึงได้ \(\pi\) เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะว่า \(\pi = \frac{22}{7}\) \item \(\sin ^2 80^ \circ + \cos ^2 80^ \circ \) ไม่สามารถทราบค่าได้ เพราะไม่ทราบค่าของ \(\sin ^2 80^ \circ \) และ \(\cos ^2 80^ \circ \) \end{enumerate} ตัวเลือกในข้อใดกล่าวถูกต้องเกี่ยวกับข้อความข้างต้น \choicess{ไม่มีข้อถูกเลย}{มีข้อถูก 1 ข้อ}{มีข้อถูก 2 ข้อ}{มีข้อถูก 3 ข้อ} \item ให้ \(m\) เป็นค่าคงตัวที่มีค่ามากกว่าสอง และสมการ \(m^2 - \left( x^2 - x + \frac{5}{2} \right)m - (6x + 1) = 0\) มีรากเพียงรากเดียว จงหาค่าของ \(m^{(1/2)} + (1/2)\) \choices{1}{2}{3}{4} \item สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง จุดยอดมีพิกัดอยู่ที่ \((-2, -6), (6, -6)\) จงหาพิกัดของจุดยอดอีกจุดหนึ่ง \choices{\((2, 4\sqrt 3 - 6)\)}{\((2, 4\sqrt 3 )\)}{\((0, 4\sqrt 3 - 6)\)}{\((0, 4\sqrt 3 )\)} \newpage \item ให้ \begin{eqnarray*} a + b + c + d &= &-2 \\ ab + bc + cd + ac + ad + bd &= &-7 \\ abc + bcd + cda + dab &= &8 \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} &= &1 \end{eqnarray*} จงหาค่าของ \((1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d)\) \choices{2}{4}{8}{16} \item มีจำนวน 5 หลักที่หารด้วย 36 ลงตัวทั้งหมดกี่จำนวน โดยที่เลขโดดในแต่ละหลักเป็นเลข 7, 1 หรือ 6 \choices{9 จำนวน}{6 จำนวน}{4 จำนวน}{3 จำนวน} \item จงหาปริมาตรของรูปทรงที่เกิดจากการหมุนรูปด้านล่าง (ส่วนที่แรเงา) รอบแกนหมุนที่กำหนดให้ \begin{center} \includegraphics[height=5cm]{exm-2-17.png} \end{center} \choices{\(2107\pi \)}{\(\frac{4214}{3}\pi \) }{\(\frac{8428}{3}\pi \)}{\(\frac{26488}{3}\pi \)} \item กำหนดให้ \(A = 3^x + 2 + 3^{ - x} \), \(B = 3^x - 2 + 3^{ - x} \) จงหาค่าของ \(A + B - 2\sqrt {AB} \) ในรูปของ \(x\) \choices{\(2(3^x )\)}{\(4(3^x )\)}{\(2(3^{ - x} )\)}{\(4(3^{ - x} )\)} \newpage \item รูปด้านล่างมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดกี่รูป เมื่อรูปสี่เหลี่ยมรูปเล็กแต่ละรูปเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และไม่นับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส \begin{center} \includegraphics[height=5cm]{exm-2-19.png} \end{center} \choices{242 รูป}{243 รูป}{244 รูป}{245 รูป} \item กำหนดให้ \(a = \sqrt[3]{55 + 12\sqrt {21}}\) และ \(b = \sqrt[3]{55 - 12\sqrt {21}}\) แล้ว \(a^5 + b^5\) มีค่าเท่าใด \choices{2524}{2625}{2425 }{2525} \item จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ \(x^4 + 28x^3 + 305x^2 + 1526x + 2550\) เมื่อ \(x\) เป็นจำนวนจริงใดๆ \choices{2007}{60}{-60}{-390} \item สามเหลี่ยม \(ABC\) มี \(AB = 10, AC = 7, BC = 8\) จงหาว่าต้องเลื่อนขนานสามเหลี่ยมตามแนวด้าน \(AB\) ไปเป็นระยะเท่าไร ซึ่งทำให้พื้นที่ของส่วนที่ซ้อนทับกัน (ส่วนที่แรเงา) มีค่าเป็นครึ่งหนึ่งของสามเหลี่ยมเดิม \begin{center} \includegraphics[height=4cm]{exm-2-22.png} \end{center} \choicess{\(5\) หน่วย}{\(5\sqrt 2 \) หน่วย}{\(10 - 5\sqrt 2 \) หน่วย}{\(\frac{5}{\sqrt 2}\) หน่วย} \item รถยนต์สองคันวิ่งเข้าหาสี่แยก โดยรถคันแรกวิ่งมาจากถนนด้านทิศตะวันตกของสี่แยก รถคันที่สองวิ่งมาจากถนนด้านทิศใต้ของสี่แยก โดยรถคันที่สองมีความเร็วเป็นสองเท่าของรถคันแรก ถ้าจุดเริ่มต้นของรถคันแรกและคันที่สองอยู่ห่างจากสี่แยก 2 เมตร และ 5 เมตร ตามลำดับ จงหาว่าระยะห่างระหว่างรถทั้งสองคันที่สั้นที่สุดเป็นเท่าไร \choices{\(\frac{\sqrt 5 }{5}\) เมตร}{\(\sqrt 5 \) เมตร}{\(2\sqrt 5 \) เมตร}{\(5\sqrt 5 \) เมตร} \item ห้าเหลี่ยม \(ABCDE\) มี \(AB = AE = CD = 2\), \(\angle ABC = \angle DEA = 90^ \circ \) และ \(BC + DE = 2\) จงหาพื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมนี้ \choicess{2 ตารางหน่วย}{\(2\sqrt 5 \) ตารางหน่วย}{3 ตารางหน่วย}{4 ตารางหน่วย} \item จงหาเศษจากการหาร \(10^{10^1 } + 10^{10^2 } + 10^{10^3 } + \ldots + 10^{10^{716} } \) ด้วย 7 \choices{1}{2}{4}{6} \end{enumerate} \end{document}
* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ