ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

EXIMIUS ชุดที่ 3



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{EXIMIUS: เซียนคณิตพิชิตโจทย์ จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\newcommand{\choices}[4]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicess}[4]{ \begin{tabular}{p{6cm} l} ก. #1 & ข. #2 \\ ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicessss}[4]{ \begin{tabular}{l} ก. #1 \\ ข. #2 \\ ค. #3 \\ ง. #4 \\ \end{tabular}}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent หนังสือ EXIMIUS: เซียนคณิตพิชิตโจทย์\\
แบบทดสอบชุดที่ 3

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 17 พฤษภาคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \ สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip

\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% material
\newpage
\setcounter{page}{1}

\begin{enumerate}
  \item กำหนดให้ \(\left( \frac{1}{2} \right)^{4x} = 3 - 2\sqrt 2 \) จงหาค่าของ \(\frac{2^{6x} - 2^{-6x}}{2^{2x} - 2^{-2x}}\)
  
  \choices{1}{\(3 + 2\sqrt 2 \)}{7}{9}

  \item กำหนด \((x^2 - y^2 )\left( x - y \right) = 16xy\) และ \((x^4 - y^4 )(x^2 - y^2 ) = 640 x^2 y^2 \) ถ้า \(x\) และ \(y\) ไม่เท่ากับ 0 จงหาค่าของ \(x + y\)
  
  \choices{0}{12}{9}{15}

  \item ให้ \(a,b,c,d,e\) เป็นจำนวนเต็มแตกต่างกันที่ทำให้ \((45 - a)(45 - b)(45 - c)(45 - d)(45 - e) = 45\) จงหาค่าของ \(a + b + c + d + e\)
  
  \choices{225}{220}{215}{200}

  \item กำหนด \(a * b = (a - 3)^{b - 3} - \frac{1 + 2 + 3 + \ldots + a(b - 1)}{a} - 1\)
  
  จงหาค่าของ \(\frac{(1 * 3)(2 * 5)(3 * 7) \ldots (2007 * 4015)}{(3 * 1)(5 * 2)(7 * 3) \ldots (4015 * 2007)}\)
  
  \choices{\(\frac{1}{2007^2}\)}{\(2007^2\)}{\(2007^2 + 1\)}{0}

  \item ให้ \( \oplus \) เป็นการดำเนินการในจำนวนเต็ม กำหนดโดย \(a \oplus 1 = a'\), \(a \oplus b' = (a \oplus b)' \) และ \(a' = a + 2\)
  
  จงหาค่าของ \(5 \oplus 7\)
  
  \choices{13}{12}{10}{8}

  \item กำหนดสามเหลี่ยม \(ABC\) มี \(BC = 1\) เซนติเมตร โดยที่มุม \(ABC\) และ \(BAC\) มีขนาด 60 และ 100 องศา ตามลำดับ ถ้า \(D\) และ \(E\) เป็นจุดบนด้าน \(AC\) และ \(BC\) ตามลำดับ โดยที่ \(AD = CD\) และมุม \(EDC\) มีขนาด 80 องศา จงหาค่าของ \([ABC] + 2[CDE]\) เมื่อกำหนดสัญลักษณ์ \([XYZ]\) แทนพื้นที่ของสามเหลี่ยม \(XYZ\)
  
  \choicess{\(\frac{\sqrt 3 - 1}{2}\) ตารางเซนติเมตร}{\(\frac{\sqrt 3 }{4}\) ตารางเซนติเมตร}{\(\frac{\sqrt 3}{8}\) ตารางเซนติเมตร}{\(\frac{\sqrt 3}{16}\) ตารางเซนติเมตร}

  \item สนามหญ้าแห่งหนึ่งมีหญ้างอกสม่ำเสมอ ถ้ากำหนดให้ \\
  
  วัว 1 ตัว ม้า 2 ตัว แพะ 3 ตัว ช้าง 4 ตัว กินหญ้าหมดทั้งสนามใน 2 วัน \\
  วัว 2 ตัว ม้า 6 ตัว แพะ 12 ตัว ช้าง 20 ตัว กินหญ้าหมดทั้งสนามใน 4 วัน \\
  วัว 6 ตัว ม้า 15 ตัว แพะ 28 ตัว ช้าง 45 ตัว กินหญ้าหมดทั้งสนามใน 8 วัน \\
  วัว 15 ตัว ม้า 31 ตัว แพะ 53 ตัว ช้าง 81 ตัว กินหญ้าหมดทั้งสนามใน 16 วัน \\
  
  จงหาว่า วัว 31 ตัว ม้า 56 ตัว แพะ 89 ตัว ช้าง 120 ตัว จะกินหญ้าหมดทั้งสนามภายในกี่วัน   

  \choices{29 วัน}{30 วัน}{31 วัน}{32 วัน}

  \item \(ABCD\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ให้ \(P\) เป็นจุดใดๆ บน \(AB\) โดย \(PS \bot BD\), \(PR \bot AC\), \(AF \bot BD\) และ \(PQ \bot AF\) ข้อใดมีค่าเท่ากับ \(PR + PS\) เสมอ

  \begin{center}
    \includegraphics[height=4cm]{exm-3-8.png}
  \end{center}

  \choices{\(AF\)}{\(AE\)}{\(PQ\)}{\(EF\)} 

  \item เซ็ตจังและโคโนจังเล่นเกมกันโดยทั้งคู่ผลัดกันวางหมากลงบนกระดาน โดยห้ามวางหมากให้อยู่ในแนวทแยงมุมเดียวกันกับหมากที่มีอยู่แล้วบนกระดาน ใครไม่สามารถวางหมากต่อได้เป็นฝ่ายแพ้ ถ้าทั้งคู่เล่นเกมนี้สองครั้ง บนกระดานขนาด \(3 \times 3\) และ \(6 \times 6\) โดยเซ็ตจังเป็นฝ่ายเริ่มก่อนทั้งสองเกม และทั้งสองคนเล่นด้วยกลยุทธที่ดีที่สุด ใครจะเป็นฝ่ายชนะในสองเกมนี้
  
  \choicessss{เซ็ตจังชนะทั้งสองเกม}{เซ็ตจังชนะในกระดาน \(3 \times 3\) โคโนจังชนะในกระดาน \(6 \times 6\)}{โคโนจังชนะในกระดาน \(3 \times 3\) เซ็ตจังชนะในกระดาน \(6 \times 6\)}{โคโนจังชนะทั้งสองเกม}

  \item สี่เหลี่ยมจัตุรัสและแปดเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ามีพื้นที่เท่ากัน จงหาอัตราส่วนของความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสต่อความยาวด้านของแปดเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า
  
  \choices{\(\sqrt {2 - 2\sqrt 2 } \)}{\(\sqrt {4 + 2\sqrt 2 } \)}{\(\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \)}{\(\sqrt {2 + 2\sqrt 2 } \)}

  \item ให้ \(A = \frac{1}{\frac{1}{2007^2} + \frac{1}{2008^2} + \frac{1}{2009^2} + ... + \frac{1}{2549^2}}\)
  
  จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าไม่เกิน \(\frac{A}{50}\)
  
  \choices{184}{186}{188}{190}

  \item กำหนด \(\alpha , \beta , \gamma\) เป็นรากของสมการ \(x^3 - 7x^2 + x + 6 = 0\)
  
  จงหาสมการที่มีรากเป็น \(\alpha + \beta \), \(\beta + \gamma \) และ \(\gamma + \alpha \)

  \choicess{\(x^3 - 14x^2 + 50x - 13 = 0\)}{\(x^3 - x^2 + 2x - 1 = 0\)}{\(x^3 + 3x^2 - 4x + 1 = 0\)}{\(x^3 + 12x - 5x + 7 = 0\)}
  
  \newpage
  
  \item ให้	\\
  A	เป็นค่าเฉลี่ยของ 11, 25, 31, 42, 28, 19, 37, 11, 2, 7, 32, 11, 4 \\
  B	เป็นมัธยฐานของ 7, 9, 5, 12, 7, 36, 25, 11, 2, 7, 1, 5, 9, 7, 117 \\
  C	เป็นฐานนิยมของ 15, 9, 23, 11, 5, 24, 29, 17, 15, 1, 5, 25, 5, 9 \\
  D	เป็นพิสัยของ 7, 9, 25, 14, 26, 38, 17, 24, 5, 19, 28, 19, 17, 26, 17
  
  จงหาค่าของ \((A \times B) - (B \times C) + (C \times D) - (D \times A)\)
  
  \choices{300}{390}{\(-300\)}{\(-390\)}

  \item \(ABC\) เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม สร้างวงกลม 3 วงที่มีด้าน \(AB\), \(BC\) และ \(CA\) เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังรูป ถ้า \(AB = 15\), \(AC = 14\), \(BC = 13\) และพื้นที่ที่แรเงาส่วนที่ 1, 2, 3 และ 4 มีค่า \(a, b, c\) และ \(d\) ตารางหน่วยตามลำดับ จงหาค่าของ \(a + b + c - d\)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{exm-3-14.png}
  \end{center}
  
  \choices{132}{144}{156}{168}

  \item จงหาคำตอบของสมการ \(x = 2\sqrt {x - \frac{1}{x}} + \sqrt {1 - \frac{4}{x}} \)
  
  \choices{\(\frac{2 \pm \sqrt 5 }{2}\)}{\(2 \pm \sqrt 5 \)}{\(2 + \sqrt 5 \)}{\(2 - \sqrt 5 \)}

  \item จงหาค่าของ \(\sqrt[n]{\frac{150}{5^{2n + 3} + 5^{2n + 2}}}\) เมื่อ \(n\) เป็นจำนวนนับ
  
  \choices{\(\frac{1}{5}\)}{\(\frac{2}{5}\)}{\(\frac{1}{25}\)}{\(\frac{1}{125}\)}

  \item จงเรียงลำดับค่าของ \((9!)^7 \), \((8!)^8 \) และ \((7!)^9 \) จากมากไปหาน้อย
  
  \choicess{\((9!)^7 \), \((8!)^8 \), \((7!)^9 \)}{\((9!)^7 \), \((7!)^9 \), \((8!)^8 \)}{\((8!)^8 \), \((9!)^7 \), \((7!)^9 \)}{\((8!)^8 \), \((7!)^9 \), \((9!)^7 \)}

  \newpage
  
  \item มีคน 7 คนจับมือกันดังกรณีต่อไปนี้ จงหาว่ามีกรณีที่เป็นไปไม่ได้กี่กรณี
  \begin{enumerate}[(1)]
  	\item	4 คนที่จับกับคนอื่นทั้งหมด 4 คน และ \\
    3 คนที่จับกับคนอื่นทั้งหมด 3 คน
  	\item	7 คนที่จับกับคนอื่นทั้งหมด 6 คน 
  	\item	5 คนที่จับกับคนอื่นทั้งหมด 2 คน และ \\
  	2 คนที่จับกับคนอื่นทั้งหมด 5 คน
  	\item 3 คนที่จับกันคนอื่นทั้งหมด 	5 คน และ \\
  	4 คนที่จับกันคนอื่นทั้งหมด 3 คน
	\end{enumerate}
  	
  \choices{0 กรณี}{1 กรณี}{2 กรณี}{3 กรณี}
  
  \item ให้ \(x = \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \frac{2}{3 \times 4 \times 5} + \frac{3}{4 \times 5 \times 6} + \ldots + \frac{2005}{2006 \times 2007 \times 2008}\) ข้อใดถูกต้อง 
  
  \choices{\(0 < x < \frac{1}{4}\)}{\(\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}\)}{\(\frac{1}{2} < x < \frac{3}{4}\)}{\(\frac{3}{4} < x < 1\)}

  \item ให้ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริง ถ้า \((a + b)^2 + (2a - \frac{1}{3})^2 + (a - \frac{2}{3})^2 + (b + 1)^2 = \frac{4}{9}\) จงหาค่าของ \((b + a)^2 + (2b - \frac{1}{3})^2 + (b - \frac{2}{3})^2 + (a + 1)^2 \) 
  
  \choices{\(\frac{4}{9}\)}{\(\frac{13}{9}\)}{\(\frac{29}{9}\)}{\(\frac{58}{9}\)}

  \item สามเหลี่ยมมุมฉาก \(ABC\) มีด้านทั้งสามยาว \(a + 1\), \(a + 6\) และ \(a + 7\) หน่วย ให้ \(d\) และ \(e\) เป็นคำตอบของสมการ \(x^2 - (a^2 - 1)x + (a - 1) = 0\) จงหาค่าของ \(\frac{1}{d} + \frac{1}{e}\)
  
  \choices{\(\sqrt 3 \)}{\(2\sqrt 3 + 1\)}{\(\sqrt 2 \)}{\(3\sqrt 2 + 1\)}

  \item ให้ \(2x^2 + 2y^2 - 2x - 2y + 1 = 0\) จงหาค่าของ \((2x)^n + (2y)^n \) เมื่อ \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวกคี่
  
  \choices{\(-1\)}{0}{1}{2}

  \item กำหนดให้ \(\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A\sin B\) จงหาค่าของ \(\cot 75^ \circ \)
  
  \choices{\(2 - \sqrt 3 \)}{\(2 + \sqrt 3 \)}{\(\sqrt 2 - 3\)}{\(\sqrt 2 + 3\)}

  \newpage
  
  \item กำหนดวงกลมจุดศูนย์กลาง \(O\) มี \(AB\) เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง \(CB\) เป็นคอร์ดหนึ่ง, จุด \(D\) เป็นจุดศูนย์กลางส่วนโค้ง \(CB\), จุด \(E\) อยู่บน \(AB\) ที่ทำให้ \(DE \bot AB\) ถ้า \(CB = 10\) หน่วย จงหาว่า \(DE\) ยาวกี่หน่วย
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=4.5cm]{exm-3-24.png}
  \end{center}
  
  \choices{6 หน่วย}{7 หน่วย}{5 หน่วย}{4 หน่วย}

  \item ให้ \(a,b\) และ \(c\) เป็นจำนวนจริง อาจารย์เขียนสมการบนกระดานดังนี้
  
  \((a - 1)\left[ \left( 2b^2 + \frac{1}{4} \right)^2 + 4\left( 2c^2 + \frac{3}{4} \right)^2 + 4bc(4b - 1) \right] + a(b^2 + 1) + b(2a - b - 2) = \frac{21}{16}a - \frac{5}{16}\)
  
  แล้วอาจารย์บอกว่า ``\(a\) ไม่เป็นจำนวนเต็ม'' แล้วถามนักเรียนว่า \(b\) และ \(c\) เป็นจำนวนอะไร

  คำตอบของนักเรียนมีดังนี้

  \begin{tabular}{p{1.5cm} l}
    เท็นมะ & : \(b\) และ \(c\) เป็นจำนวนเต็ม \\
    มิโคโตะ	& : \(b\) เป็นจำนวนเต็ม แต่ \(c\) ไม่เป็นจำนวนเต็ม \\
    เอริ & : \(b\) ไม่เป็นจำนวนเต็ม แต่ \(c\) เป็นจำนวนเต็ม \\
    อากิระ & : \(b\) และ \(c\) ไม่เป็นจำนวนเต็ม
  \end{tabular}
  
  นักเรียนคนใดตอบถูก
  
  \choices{เท็นมะ}{มิโคโตะ}{เอริ}{อากิระ}
\end{enumerate}
\end{document}
  


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ