ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

EXIMIUS ชุดที่ 4



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{EXIMIUS: เซียนคณิตพิชิตโจทย์ จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\newcommand{\choices}[4]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicess}[4]{ \begin{tabular}{p{6cm} l} ก. #1 & ข. #2 \\ ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicessss}[4]{ \begin{tabular}{l} ก. #1 \\ ข. #2 \\ ค. #3 \\ ง. #4 \\ \end{tabular}}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent หนังสือ EXIMIUS: เซียนคณิตพิชิตโจทย์\\
แบบทดสอบชุดที่ 4

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 17 พฤษภาคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \ สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip

\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% material
\newpage
\setcounter{page}{1}

\begin{enumerate}
  \item จงหาค่าของ \(\frac{1}{1} + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \ldots + \frac{1}{1 + 2 + 3 + \ldots + 2550}\)

  \choices{\(\frac{5099}{2550}\)}{\(\frac{5101}{2550}\)}{\(\frac{5100}{2551}\)}{\(\frac{5101}{2551}\)}

  \item สามเหลี่ยมมุมฉาก \(ABC\) มีมุม \(B\) เป็นมุมฉาก มีด้าน \(AB\) ยาว 1 หน่วย และด้าน \(BC\) ยาว 5 หน่วย และ สามเหลี่ยมมุมฉาก \(DEF\) มีมุม \(E\) เป็นมุมฉาก มีด้าน \(DE\) ยาว 2 หน่วย และด้าน \(EF\) ยาว 3 หน่วย จงหาขนาดของ \({\hat C} + {\hat F}\)
  
  \choices{\(45^ \circ \)}{\(50^ \circ \)}{\(60^ \circ \)}{\(75^ \circ \)}

  \item กำหนดให้ \(3^2 + 7^2 + 11^2 + \ldots + 2009^2 = k\) และ \(3 + 7 + 11 + \ldots + 2009 = d\) จงหาค่าของ \(1 \times 3 + 5 \times 7 + \ldots + 2007 \times 2009\)
  
  \choices{\(2k - 4d\)}{\(k - 2d\)}{\(3k - 2d\)}{\(6k - 3d\)}

  \item เจ้าหญิงแห่งอาณาจักร Eximius ถูกลักพาตัวไปด้วยปีศาจร้ายนามสรวิศ กองกำลังอัศวินขี่ม้าขาวกิตติธัชได้รับคำสั่งจากพระราชาให้ไปกำจัดเสีย โดยที่หัวหน้าทีมกิตติธัชต้องจัดกองกำลังไพร่พลจำนวนหนึ่ง โดยถ้าจัดรูปแบบแถวเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะมีพลทหารเหลือ 1 นาย แต่ถ้าจัดให้มีจำนวนพลทหารในแถวมากกว่าจำนวนพลทหารในหลักอยู่ 9 นาย พลทหารจะครบพอดี จงหาผลบวกของจำนวนของทหารที่เป็นไปได้ทั้งหมด
  
  \choices{452 นาย}{379 นาย}{567 นาย}{195 นาย}

  \item กำหนด \(a,b,c\) เป็นจำนวนเต็มและ \(b > c\) โดยค่า \(a, b, c\) เป็นคำตอบของระบบสมการ
  \begin{eqnarray*}
    a+b+c & = & 3 \\
    a+b^2+c^2 & = & 17 \\
    a^2+b^3+c^3 & = & 21
  \end{eqnarray*}
  จงหาค่าของ \(b\)
  
  \choices{-1}{0}{1}{2}

  \newpage

  \item สามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว \(ABC\) มีมุม \(B\) เป็นมุมฉาก และมีด้านประกอบมุมฉากยาวด้านละ 6 หน่วย ลากเส้นตรงจากจุด \(A\) และ \(C\) ไปตัดด้าน \(BC\) และ \(AC\) ที่จุด \(E\) และ \(F\) ตามลำดับ โดยที่ \(BE = BF = 2\) หน่วย, \(AE\) ตัดกับ \(CF\) ที่จุด \(O\) จงหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม \(AOC\)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{exm-4-6.png}
  \end{center}
  
  \choicess{8 ตารางหน่วย}{9 ตารางหน่วย}{10 ตารางหน่วย}{11 ตารางหน่วย}

  \item คุณหญิงณรรพพรเปิดโรงพิมพ์นิยายผู้หญิงโดยเฉพาะแห่งหนึ่ง พบว่าผลกำไรมีความสัมพันธ์กับจำนวนเล่มของนิยาย ดังสมการ \(A = 10024b - 7b^2 \) เมื่อให้ \(A\) เป็นกำไรและ \(b\) เป็นจำนวนเล่มในการพิมพ์แต่ละครั้ง   ถ้าต้องให้ได้ผลกำไรมากที่สุดจะต้องพิมพ์ออกมาขายทีละทั้งหมดกี่เล่ม
  
  \choices{698 เล่ม }{716 เล่ม}{682 เล่ม}{724 เล่ม}

  \item กำหนดสามเหลี่ยมด้านเท่า \(PQR\) มีด้านยาว \(42\) เซนติเมตร แนบในวงกลม \(O\) และวงกลม \(O\) แนบในสี่เหลี่ยมจัตุรัส \(ABCD\) จงหาพื้นที่ส่วนที่แรเงา
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{exm-4-8.png}
  \end{center}
  
  \choicess{\(2008 - 542\pi \) ตร.ซม.}{\(2551 - 543\pi \) ตร.ซม.}{\(2438 - 552\pi \) ตร.ซม.}{\(2352 - 588\pi \) ตร.ซม.}

  \newpage

  \item มีกล่อง 32 ใบ ซึ่งมีน้ำหนักแตกต่างกันทั้งหมด จะสามารถนำกล่องเหล่านี้มาวางเรียงเป็นกำแพงที่มีความยาวเท่ากับกล่อง 8 ใบ และมีความสูง 4 ชั้นได้กี่วิธี โดยมีเงื่อนไขว่า ห้ามนำกล่องที่หนักกว่าวางซ้อนลงบนกล่องที่เบากว่า
  
  \choices{\(\frac{32}{(4!)^8 }\) วิธี}{\(\frac{32!}{(8!)^4 }\) วิธี}{\(\frac{32!}{(4!)^8 \times 8!}\) วิธี}{\(\frac{32!}{(8!)^4 \times 4!}\) วิธี}

  \item กำหนดให้ \(P(x) = 6x^3 - 131x^2 + 528x - 595\) โดยมี \(k_1, k_2 \) และ \(k_3 \) เป็นรากของพหุนามนี้ จงหาค่าของ \(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 \)
  
  \choices{\(430\left( {\frac{5}{6}} \right)^2 \) }{\(431\left( {\frac{5}{6}} \right)^2 \)}{\(432\left( {\frac{5}{6}} \right)^2 \)}{\(433\left( {\frac{5}{6}} \right)^2 \)}

  \item กำหนด \(a\) และ \(b\) เป็นค่าคงที่ซึ่งทำให้
  \begin{eqnarray*}
    ax + by & = & 6 \\
    ax^2 + by^2 & = & 12 \\
    ax^3 + by^3 & = & 30 \\
    ax^4 + by^4 & = & 84
  \end{eqnarray*}
  จงหาค่าของ \(x^5 + y^5 \)
  
  \choices{33}{244}{275}{3125}

  \item จากรูป \(ABCD\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีความยาวด้านด้านละ \(x\) หน่วย และ \(GC = \frac{x}{\sqrt 3}\) หน่วย จงหาพื้นที่ส่วนที่แรเงา
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{exm-4-12.png}
  \end{center}
  
  \choicess{\(\frac{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)x^2 }{4}\)	ตารางหน่วย}{\(\frac{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)x^2 }{4}\) ตารางหน่วย}{\(\frac{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)x^2 }{6}\) ตารางหน่วย}{\(\frac{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)x^2 }{6}\) ตารางหน่วย}
  
  \newpage
  
  \item กำหนดให้ \(x = 1 + \frac{1}{{2 + \frac{1}{{3 + \frac{1}{{2 + \frac{1}{3 + \ldots}}}}}}}\), \(y = \sqrt[3]{{15\sqrt[3]{{15\sqrt[3]{{15...}}}}}}\) และ \(\sqrt {15} \approx 3.87\)
  
  พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ข้อใดถูกต้อง
  
  \begin{enumerate}[(i)]
    \item \(x < y\)
    \item \(x \approx 1.44\)
    \item \(y \approx 1.29\)
  \end{enumerate}
  
  \choices{ข้อ (i)}{ข้อ (ii) }{ข้อ (i), (ii)}{ข้อ (ii), (iii)}

  \item สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านยาว \(x\), \(y\) และ \(z\) โดยที่ \(x^2 + y^2 = z^2 \) สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม แล้วสร้างรูปหกเหลี่ยมโดยการลากเส้นเชื่อมจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่ใช่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยม จงหาพื้นที่หกเหลี่ยม
  
  \choicess{\(x^2 + y^2 + z^2 + xy\)	}{\(x^2 + y^2 + z^2 + \frac{3}{2}xy\)}{\(x^2 + y^2 + z^2 + 2xy\)	}{\(x^2 + y^2 + z^2 + \frac{5}{2}xy\)}

  \item คาซึมิและซาโยะเล่นเกมกันโดยแต่ละคนมีหมาก 1 ตัววางอยู่ที่ช่องล่างซ้ายของกระดานขนาด \(2 \times 2\) ทั้งคู่ผลัดกันทอดเหรียญ ถ้าออกหัวจะเดินหมากของตนเองไปทางด้านบน 1 ช่อง ถ้าออกก้อยจะเดินหมากของตนเองไปทางด้านขวา 1 ช่อง ในกรณีที่ไม่สามารถเดินหมากได้เพราะวางอยู่สุดกระดานแล้ว ก็จะถือว่าผ่านตานั้นไป ใครที่เดินหมากไปถึงเส้นชัยคือช่องบนขวาก่อนจะเป็นฝ่ายชนะ ถ้าคาซึมิเป็นฝ่ายเริ่มเล่นก่อน จงหาความน่าจะเป็นที่คาซึมิจะชนะในเกมนี้
  
  \choices{\(\frac{1}{2}\)}{\(\frac{5}{8}\)}{\(\frac{2}{3}\)}{\(\frac{3}{4}\)}

  \item กำหนดให้ \((x - 4)^2 - 1111 = 0\) จงหาค่าของ \(x^2 (x - 8)^2 + 32(x^2 - 8x) + 252\)
  
  \choices{1234317}{1234321}{1234330}{1234543}

  \newpage

  \item สามเหลี่ยมด้านเท่า \(ABC\) มีความยาวด้านละ \(l\) หน่วย ลากเส้นส่วนสูง \(AD\), \(BE\) และ \(CF\) ตัดกันที่ \(H\) สร้างวงกลมแนบใน \(\vartriangle {AFH}\), \(\vartriangle {AEH}\), \(\vartriangle {CEH}\), \(\vartriangle {CDH}\), \(\vartriangle {BDH}\), \(\vartriangle {BFH}\) จงหารัศมีของวงกลมที่สัมผัสกับวงกลมแนบในสามเหลี่ยมทั้งหก
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{exm-4-17.png}
  \end{center}
  
  \choicess{\(\frac{l}{4\sqrt 3 }\) หน่วย}{\(\frac{(\sqrt {3} - 1)l}{4\sqrt 3 }\) หน่วย}{\(\frac{(\sqrt{3} + 1)l}{4\sqrt 3 }\) หน่วย}{\(\frac{l}{2\sqrt 3 }\) หน่วย}
  
  \item \(\sqrt[3]{85 - 39\sqrt 3} + \sqrt[3]{85 + 39\sqrt 3 }\)มีค่าเท่ากับข้อใด
  
  \choices{\(5\sqrt[3]{2}\)}{\(5\sqrt[3]{4}\)}{\(20\sqrt[3]{2}\)}{\(20\sqrt[3]{4}\)}

  \item ให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 0, \(y = \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 \) และ \(z = \frac{x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1}{x^3 }\)
   
  ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
  
  \choices{\(y - z = 0\)}{\(y - z > 0\)}{\(y - z < 0\)}{\(\sqrt[3]{y} - \sqrt[3]{z} < 0\)}

  \item เครื่องบินลำหนึ่ง อัตราเร็วที่บินได้เร็วที่สุดแปรผันตรงกับกำลังเครื่องยนต์ และแปรผกผันกับน้ำหนักของเครื่องบิน ถ้ากำลังเครื่องบินเป็น 660,000 วัตต์ และเครื่องบินหนัก 121,000 นิวตัน เครื่องบินจะบินเร็วที่สุด 50 เมตรต่อวินาที ถ้ากำลังเครื่องบินเป็น 420,000 วัตต์ และเครื่องบินหนัก 110,000 นิวตัน เครื่องบินจะบินเร็วสูงสุดเท่าไร
  
  \choicess{35 เมตรต่อวินาที}{45 เมตรต่อวินาที}{55 เมตรต่อวินาที }{65 เมตรต่อวินาที}

  \item สำหรับจำนวนเต็มบวก \(n\) ใดๆ ให้ \(P_n \) เป็นพาราโบลา \(y = \left( \frac{1}{n} \right)x^2 \) ถ้า \(k\) เป็นจำนวนเต็มบวกน้อยที่สุดที่ทำให้ \(P_k \) มีจุดร่วมกับเส้นตรง \(y = x - 4\) เพียงจุดเดียว แล้ว \(k\) มีค่าเท่าใด
  
  \choices{8}{14}{16}{20}

  \item จงหาค่าของ \(\frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} + \frac{z}{x} + \frac{y}{z} + \frac{x}{y}\) โดยที่ \(x + y + z = 1\) และ \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 3\)
  
  \choices{1}{0}{2}{\(\frac{1}{2}\)}

  \item ให้เลขหกหลักสุดท้ายในฐานสิบแปดของ \(17006111^2 \) เป็น \(abcdef\)
  
  ให้เลขหกหลักสุดท้ายในฐานสิบสี่ของ \(4000065^2 \) เป็น \(ghijkl\)
  
  จงหาค่าของ \(a + b + c + d + e + f + g + h + i + j + k + l\) ในฐานสิบ
  
  \choices{2}{13}{14}{21}

  \item ให้ \(a, b, c\) เป็นจำนวนจริงซึ่ง \(\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = 1\) จงหาค่าของ \(\frac{a^2}{b + c} + \frac{b^2}{c + a} + \frac{c^2}{a + b}\)
  
  \choices{1}{0}{\(\frac{1}{2}\)}{ไม่สามารถหาค่าได้}

  \item สี่เหลี่ยมจัตุรัส \(XABD\) มีความยาวด้านละ 1 หน่วย อยู่ในวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง \(XY\) ยาว 2 หน่วย สี่เหลี่ยมจัตุรัส \(YCBE\) อีกรูปหนึ่งถูกสร้างขึ้น โดยจุด \(A\) และ \(C\) อยู่บนเส้นรอบวง จงหาอัตราส่วนของพื้นที่สี่เหลี่ยม \(XABD\) ต่อ \(YCBE\)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{exm-4-25.png}
  \end{center}
  
  \choices{\(2:1\)}{\((2 - \sqrt 3 ):2\)}{\((\sqrt 3 + 1):2\)}{\(1:(2 - \sqrt 3 )\)}
  
\end{enumerate}
\end{document}
  


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ