ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

EXIMIUS ชุดที่ 5



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{EXIMIUS: เซียนคณิตพิชิตโจทย์ จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\newcommand{\choices}[4]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicess}[4]{ \begin{tabular}{p{6cm} l} ก. #1 & ข. #2 \\ ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicessss}[4]{ \begin{tabular}{l} ก. #1 \\ ข. #2 \\ ค. #3 \\ ง. #4 \\ \end{tabular}}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent หนังสือ EXIMIUS: เซียนคณิตพิชิตโจทย์\\
แบบทดสอบชุดที่ 5

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 17 พฤษภาคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \ สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip

\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% material
\newpage
\setcounter{page}{1}

\begin{enumerate}
  \item ถ้าความยาวรอบรูปของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วมีค่าเท่ากับ 4 จงหาว่าสามเหลี่ยมรูปนี้มีพื้นที่เท่าไร
  
  \choices{\(12 - 8\sqrt 2 \)}{\(12 + 8\sqrt 2 \)}{\(12\sqrt 2 + 8\)}{\(12\sqrt 2 - 8\)}

  \item จงหาค่าของ \(1 + \frac{1}{{1 + \frac{2}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{2}{{1 + ...}}}}}}}}\)
  
  \choices{\(\frac{\sqrt 2}{2}\)}{\(\sqrt 2\)}{\(\frac{1}{2\sqrt 2}\)}{\(2\)}

  \item กำหนดให้ \(0 < a < b < c < d\) จงหาว่าข้อใดมีค่ามากที่สุด
  
  \choices{\(\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}\)}{\(\frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2}\)}{\(\frac{b^2 + c^2}{a^2 + d^2}\)}{\(\frac{b^2 + d^2}{a^2 + c^2}\)}

  \item กำหนดให้ \(E(n)\) เป็นผลบวกของเลขโดดคี่ใน \(n\) เช่น \(E(12354) = 1 + 3 + 5 = 9\)

  จงหาค่าของ \(E(0) + E(1) + E(2) + \ldots + E(99)\)
  
  \choices{500}{250}{125}{300}

  \item สี่เหลี่ยมจัตุรัส \(ABCD\) มีสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เท่ากันทุกประการ 4 รูปแนบในอยู่ดังรูป ถ้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านยาวด้านละ \(a\) หน่วย จงหาว่าสามเหลี่ยมด้านเท่าที่แนบในแต่ละรูปมีความยาวด้านเท่าไร
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{exm-5-5.png}
  \end{center}
  
  \choicess{\(\frac{a(\sqrt 3 + 1)}{2}\) หน่วย}{\(\frac{a(\sqrt 3 - 1)}{2}\) หน่วย}{\(\frac{2a}{\sqrt 3 + 1}\) หน่วย}{\(\frac{2a}{\sqrt 3 - 1}\) หน่วย}

  \newpage

  \item กำหนดสี่เหลี่ยมผืนผ้า \(ABCD\) ที่มีด้าน \(AB\) ยาว 7 หน่วย และ \(BC\) ยาว 4 หน่วย วงกลม \(O\) รัศมี 1 หน่วย สัมผัสด้าน \(AD\) และ \(CD\) ดังภาพ สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัส \(BPQR\) โดยที่ด้าน \(QR\) สัมผัสวงกลม \(O\) ถ้า \(PQ\) ตัด \(AB\) ที่จุด \(X\) จงหารัศมีวงกลมแนบในสามเหลี่ยม \(BPX\)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{exm-5-6.png}
  \end{center}
  
  \choicess{\(\frac{3}{2}\) หน่วย}{\(\frac{5}{4}\) หน่วย}{\(\frac{\sqrt 5}{2}\) หน่วย}{ข้อมูลไม่เพียงพอ}

  \item ถ้า \(\sec \theta + 9\cos \theta = 6\) แล้วจงหาค่าของ \(\sec \theta \)
  
  \choices{- 3}{3}{\(\sqrt 3 \)}{\( - 3\sqrt 3 \)}
  
  \item สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีความยาวของด้านทุกด้านเป็นจำนวนเต็ม และมีความยาวรอบรูป 8 หน่วย จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมรูปนี้
  
  \choicess{\(2\sqrt 2 \) ตารางหน่วย}{\(3\sqrt 2 \) ตารางหน่วย}{2 ตารางหน่วย}{\(\frac{1}{\sqrt 2}\) ตารางหน่วย}

  \item ถ้า \(p\) และ \(q\) เป็นจำนวนเต็มบวกที่ต่างกัน พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ตัวเลือกใดกล่าวถูกต้อง
  \begin{enumerate}[(1)]
    \item ถ้า \(p > q > 0\) จะได้ว่า \(2^p \geqslant 2^q + 3\)
    \item ถ้า \(2^p \geqslant 2^q + 3\) จะได้ว่า \(p > q > 0\)
  \end{enumerate}
  
  \choicess{(1) ถูก และ (2) ถูก }{(1) ถูก และ (2) ผิด}{(1) ผิด และ (2) ถูก}{(1) ผิด และ (2) ผิด}

  \item ข้อใดมีค่ามากที่สุด
  
  \choices{\(\sqrt {3\sqrt[3]{2}} \)}{\(\sqrt {2\sqrt[3]{3}} \)}{ \(\sqrt[3]{2\sqrt 3}\)}{\(\sqrt[3]{3\sqrt 2}\)}

  \item ครึ่งวงกลมรัศมี 2 หน่วย เมื่อพับเป็นกรวยแล้วนำไปบรรจุในทรงกลมลูกหนึ่ง จงหารัศมีที่น้อยที่สุดของทรงกลมลูกนี้
  
  \choices{\(\frac{2}{\sqrt 3}\) หน่วย}{\(\frac{2}{\sqrt 2}\) หน่วย}{\(\frac{3}{\sqrt 3}\) หน่วย}{\(\frac{1}{\sqrt 3}\) หน่วย}

  \item โรงงานผลิตของเล่นแห่งหนึ่งผลิตของเล่นโดยใช้เครื่องจักร โดยของเล่นแต่ละชิ้นต้องเสียค่าวัตถุดิบชิ้นละ 3 บาท แต่มีปัญหาอยู่ที่เครื่องจักรที่ใช้ในการผลิตจะผลิตของเล่นได้ครั้งละ 100 ชิ้น หลังจากนั้นเครื่องจะร้อนจนต้องหยุดเครื่อง ดังนั้นเจ้าของโรงงานจึงต้องซื้อเครื่องจักรมามากกว่า 1 เครื่อง เพื่อในการผลิตแต่ละครั้งจะได้จำนวนของเล่นตามที่ต้องการ และในการผลิตแต่ละครั้งจะไม่มีการเดินเครื่องอีกหากต้องหยุดเครื่อง นอกจากนี้ในการผลิตของเล่นแต่ละชิ้นจะต้องเสียเงินบำรุงเครื่องจักรเพิ่มอีก 10 สตางค์ต่อเครื่อง หากของเล่นชนิดนี้วางขายในราคาชิ้นละ 10 บาท จงหาว่าจะต้องผลิตของเล่นครั้งละกี่ชิ้น เจ้าของโรงงานจึงจะได้กำไรสูงสุด และเจ้าของโรงงานจะได้กำไรกี่บาทต่อครั้ง
  
  \choicess{500 ชิ้น, 3250 บาท	}{2000	ชิ้น, 10000 บาท}{3500	ชิ้น, 12250 บาท	}{5000	ชิ้น, 14500 บาท}

  \item จุด \(A\) และ \(B\) เป็นจุดบนพาราโบลา \(y = 2x^2 + 4x - 2\) ที่มีจุดกำเนิดเป็นจุดกึ่งกลางของสองจุดนี้ จงหาว่าจุด \(A\) และ \(B\) ห่างกันกี่หน่วย
  
  \choices{\(\sqrt{17}\) หน่วย}{\(2\sqrt {17}\) หน่วย}{8 หน่วย}{\(\frac{8}{\sqrt {17}}\) หน่วย}

  \item สามอันดับ \((a,b,c)\) ในข้อใดที่ทำให้สมการ \(ax^2 + bx + c = 0\) ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนตรรกยะ

  \choicess{(51, 35, 77)}{(203, 406, 203)}{(55, -92, 21)}{(39, -14, -8)}
  
  \item ค่า \(k\) ในข้อใดที่ทำให้พาราโบลา \(y = 7x^2 - 16x + k\) ไม่ตัดแกน \(x\)
  
  \choices{11}{-2}{\( - \frac{8}{7}\)}{0}

  \item ในสามเหลี่ยม \(ABC\) มีด้าน \(AB = 13\), \(BC = 14\) และ \(AC = 15\), จุด \(D\) เป็นจุดบน \(AC\) ที่ทำให้ \(BD = 13\) จงหาอัตราส่วน \(AD:DC\)
  
  \choices{ \(11:14\)}{\(22:3\)}{\(22:25\)}{\(14:11\)}

  \item ค่าของ \(\frac{2\sqrt{20}}{\sqrt 2 + \sqrt 5 + \sqrt 7}\) คือข้อใด
  
  \choicess{\(\sqrt 2 + \sqrt 5 - \sqrt 7 \)}{\(2 + \sqrt {10} - \sqrt {14} \)}{\(\frac{1}{5}(\sqrt 2 + \sqrt 5 - \sqrt 7 )\)}{\(\frac{1}{5}(\sqrt 2 - \sqrt 5 - \sqrt 7 )\)}

  \item ให้ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนเต็มที่ \(ab = a + b\) จงหาค่าของ \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab\)
  
  \choices{1}{2}{-2}{ข้อมูลไม่เพียงพอ}

  \item มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่หาร \(246^3 - 109^3 - 137^3 \) ลงตัว
  
  \choices{24 จำนวน}{36 จำนวน}{48 จำนวน}{60 จำนวน}

  \item มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่หาร \(127^3 + 55^3 - 103^3 - 79^3 \) ลงตัว
  
  \choices{60 จำนวน}{72 จำนวน}{120 จำนวน}{144 จำนวน}

  \item นายชินพายเรือแล่น ณ แม่น้ำแห่งหนึ่ง ขณะที่นายชินกำลังพายเรือตามน้ำ ก็ทิ้งกระป๋องลงในน้ำ หลังจากนั้น 20 นาที นายชินจึงสำนึกผิด แล้วพายเรือทวนกระแสน้ำย้อนกลับไปเก็บกระป๋อง และเขาพายในลักษณะเดียวกับที่เขาพายตอนแรก หลังจากที่เขาหันกลับไปนานเท่าใด เขาจึงจะพบกระป๋อง
  
  \choices{15 นาที}{20 นาที}{25 นาที}{ข้อมูลไม่เพียงพอ}

  \item \(\sqrt {a\sqrt[2]{a\sqrt[3]{a}}} \) มีค่าเท่าใด
  
  \choices{\(a^{\frac{1}{6}}\)}{\(a^{\frac{5}{6}}\)}{\(a^{\frac{5}{3}}\)}{\(a^{\frac{10}{3}}\)}

  \item มีจำนวนเต็มบวก \(k\) กี่จำนวนที่ทำให้ \(\sqrt {k^2 - 6k + 17} \) เป็นจำนวนเต็ม
  
  \choicessss{ไม่มีจำนวนเต็มบวก \(k\) ที่สอดคล้อง}{มีจำนวนเต็มบวก \(k\) ที่สอดคล้องเป็นจำนวนอนันต์}{1 จำนวน}{2 จำนวน}

  \item สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน \(ABCD\) มีด้านแต่ละด้านยาว 6 หน่วย และ \(A\hat BC = 120^ \circ \) สี่เหลี่ยม \(BPQR\) เป็นสี่เหลี่ยมคางหมูโดยที่ \(P\), \(Q\) และ \(R\) อยู่บนด้าน \(AD\), \(DC\) และ \(BC\) ตามลำดับ \(P\hat BR = 90^ \circ\) ถ้า \(PB = PQ\) จงหาความยาวด้าน \(RQ\)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{exm-5-24.png}
  \end{center}
  
  \choices{3 หน่วย}{\(3\sqrt 3 \) หน่วย}{\(\sqrt 3 \) หน่วย}{\(\frac{3\sqrt 3}{2}\) หน่วย}

  \item ความยาวด้านของสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีค่าเป็น \(a\), \(b\) และ \(c\) โดยที่ \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac\)
  
  ถ้า \(a + b + c = 9\) แล้ว \(b^4 + c^2 \) มีค่าเท่าใด
  
  \choices{90}{100}{105}{110}
\end{enumerate}
\end{document}
  


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ