ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

EXIMIUS ชุดที่ 6



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{EXIMIUS: เซียนคณิตพิชิตโจทย์ จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\newcommand{\choices}[4]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicess}[4]{ \begin{tabular}{p{6cm} l} ก. #1 & ข. #2 \\ ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicessss}[4]{ \begin{tabular}{l} ก. #1 \\ ข. #2 \\ ค. #3 \\ ง. #4 \\ \end{tabular}}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent หนังสือ EXIMIUS: เซียนคณิตพิชิตโจทย์\\
แบบทดสอบชุดที่ 6

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 17 พฤษภาคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \ สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip

\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% material
\newpage
\setcounter{page}{1}

\begin{enumerate}
  \item จากรูป \(P\) เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม \(ABC\) ที่ทำให้ \(P\hat BA = 40^ \circ \), \(P\hat CA = 30^ \circ \), \(P\hat BC = 20^ \circ \) และ \(P\hat CB = 20^ \circ \) จงหาขนาดของมุม \(P\hat AC\)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=3.5cm]{exm-6-1.png}
  \end{center}
  
  \choices{\(25^ \circ \)}{\(30^ \circ \)}{\(40^ \circ \)}{\(45^ \circ \)}

  \item จากรูป \(P\) เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม \(ABC\) ที่ทำให้ \(P\hat BA = 30^ \circ \), \(P\hat CA = 30^ \circ \), \(P\hat BC = 40^ \circ \) และ \(P\hat CB = 20^ \circ \) จงหาขนาดของมุม \(P\hat AC\)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=3.5cm]{exm-6-2.png}
  \end{center}  
  
  \choices{\(25^ \circ \)}{\(30^ \circ \)}{\(40^ \circ \)}{\(45^ \circ \)}

  \item ถ้า \(a^3 + b^3 - 9(a^2 + b^2 ) + 27(a + b) - 54 = 0\) แล้ว \(a + b\) มีค่าเท่าไร
  
  \choices{9}{3}{6}{12}

  \item จงหาค่า \(x + y + z\) โดยที่
  \begin{eqnarray*}
    (x \div y) \div z & = & 8 \\
  	(x \div y) - z & = & 21 \\
  	x - y	& = & 23
  \end{eqnarray*}
  \choices{2}{14}{28}{56}

  \item กำหนดสมการ \(\alpha x^2 + \beta = x\) เมื่อ \(\alpha\), \(\beta \) เป็นค่าคงที่ มีเพียงคำตอบเดียวแล้ว \((\alpha \beta )^{-1}\) มีค่าเท่าไร
  
  \choices{1/4}{1/2}{2}{4}

  \item จงหาเศษเหลือที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ที่ได้จากการหารเลขสามหลักด้วยผลบวกของเลขโดดของเลขสามหลักตัวนั้น
  
  \choices{26}{24}{17}{15}

  \item สามเหลี่ยม \(AOD\) และ \(BOC\) มีพื้นที่ 179 และ 716 ตารางหน่วย ตามลำดับ พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู \(ABCD\) เป็นกี่ตารางหน่วย
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=3.5cm]{exm-6-7.png}
  \end{center}
  
  \choicess{1611	ตารางหน่วย}{1711 ตารางหน่วย}{1721	ตารางหน่วย}{1722 ตารางหน่วย}


  \item กำหนด \(P(x)\) เป็นพหุนามดีกรี 2 ซึ่ง \(P(1) = 1\), \(P(2) = 8\), \(P(3) = 27\) จงหาว่า \(P(0)\) เท่ากับเท่าไร
  
  \choices{0}{6}{8}{10}

  \item ข้อมูลชุดหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม 5 จำนวน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม และพิสัยเป็น 716 เท่ากัน ข้อมูลชุดนี้เป็นไปได้ทั้งหมดกี่แบบ
  
  \choices{479 แบบ}{579 แบบ}{679 แบบ}{779 แบบ}

  \item จากรูป จงหา \(AB + GF + ED\) เมื่อ \(\overline {AB}\), \(\overline {DE}\), \(\overline {FG}\) เป็นเส้นสัมผัสร่วมทั้ง 3 เส้นของวงกลมทั้งสอง โดยที่ \(R = 4\) และ \(r = 3\)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{exm-6-10.png}
  \end{center}
  
  \choices{15}{\(12\sqrt 3\)}{72}{\(15\sqrt 2 \)}

  \item ค่าของ \(\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {2 - \frac{2}{3}} \right) \left( {3 - \frac{3}{4}} \right) \ldots \left( {1000 - \frac{1000}{1001}} \right)\) มีค่าเท่ากับข้อใด
  
  \choices{\( \frac{1000!}{2} - \frac{500}{1001} \)}{\( \frac{1001!}{1000} - \frac{999!}{1001^2} \)}{\( \frac{1002!}{1001^3} - \frac{1000!}{1001^2} \)}{\( \frac{1003!}{1001^3} - \frac{1000!}{1002^2} \)}

  \item กำหนดให้ \(t + \sqrt t = 1\) จงหาค่าของ \(t + \frac{1}{\sqrt t}\)
  
  \choices{1}{2}{3}{4}

  \item สามเหลี่ยม \(ABC\) เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละ \(r\) หน่วย สร้างวงกลม \(O_1 \) รัศมี \(r/4\) หน่วย สัมผัสกับ \(\overline {AB}\) และ \(\overline {BC}\) ที่จุด \(D\) และ \(E\) ตามลำดับ และสร้างวงกลม \(O_2 \) รัศมีเท่ากับวงกลม \(O_1 \) สัมผัส \(\overline {AC}\) และ \(\overline {BC}\) ที่จุด \(F\) และ \(G\) ตามลำดับ ให้วงกลมทั้งสองตัดกันที่จุด \(K\) และ \(L\) ลาก \(\overline {KL}\) ให้จุด \(H\) เป็นจุดกึ่งกลางของ \(\overline {KL}\) สร้างวงกลมโดยใช้จุด \(H\) เป็นจุดศูนย์กลาง โดยวงกลม \(H\) สัมผัสกับวงกลม \(O_2 \) และ \(O_1 \) ที่จุด \(M\) และ \(N\) ดังรูป จงหารัศมีของวงกลม \(H\)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=6cm]{exm-6-13.png}
  \end{center}
  
  \choicess{\(\left( \frac{2 - \sqrt 3}{2} \right) r\) หน่วย}{\(\left( \frac{2 - \sqrt 3}{4} \right) r\) หน่วย}{\(\left( \frac{\sqrt 3 - 1}{2} \right) r\) หน่วย}{\(\left( \frac{\sqrt 3 - 1}{4} \right) r\) หน่วย}

  \item นารุกับเคทาโร่เล่นเกมกัน โดยทั้งคู่ผลัดกันวางเหรียญที่มีรัศมี 1 เซนติเมตร ลงบนโต๊ะ โดยห้ามวางเหรียญซ้อนกัน และห้ามวางเหรียญให้มีส่วนที่ยื่นเลยออกจากขอบโต๊ะ ใครที่ไม่สามารถวางเหรียญต่อได้เป็นฝ่ายแพ้ ถ้านารุกับเคทาโร่เล่นเกมนี้กัน 2 เกม โดยเกมแรกเล่นบนโต๊ะวงกลมที่มีรัศมี 7 เซนติเมตร และเกมที่สองเล่นบนโต๊ะสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านละ 14 เซนติเมตร โดยนารุเป็นฝ่ายเริ่มเล่นก่อนทั้งสองเกม และทั้งสองคนเล่นด้วยกลยุทธที่ดีที่สุด ใครจะเป็นฝ่ายชนะในสองเกมนี้
  
  \choicessss{นารุชนะทั้งสองเกม	}{นารุชนะในเกมแรก เคทาโร่ชนะในเกมที่สอง}{เคทาโร่ชนะในเกมแรก นารุชนะในเกมที่สอง}{เคทาโร่ชนะทั้งสองเกม}

  \item กำหนด \(H_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}\) ถ้าทราบว่า \(5.187 < H_{100} < 5.188\) จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าไม่เกิน \(H_1 + H_2 + H_3 + \ldots + H_{100}\)
  
  \choices{423}{424}{425}{426}

  \newpage

  \item จากรูป \(AB = 2\), \(ED = 3\) และ \(BD = 5\) จงหาความยาวของ \(BC\) ซึ่งทำให้ \(\angle ACE\) เป็นมุมฉาก เมื่อ \(AB\) และ \(ED\) ตั้งฉากกับ \(BD\)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=3.5cm]{exm-6-16.png}
  \end{center}
  
  \choices{2}{3}{2.5}{2 หรือ 3}

  \item ใส่จำนวนจริงลงในตารางขนาด \(3 \times 3\) โดยให้มีผลบวกของจำนวนในทุกแนวตั้ง แนวนอน แนวทแยงเป็นค่าคงที่ซึ่งเท่ากับ \(T\) และให้ \(X\) เป็นตัวเลขที่อยู่ตรงกลางของตาราง ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
  
  \choicess{\(T = 3X\)}{\(T = X + 10\)}{\(T + X\) เป็นค่าคงที่}{ไม่สามารถสรุปอะไรได้}

  \item ให้ \(t\) เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง \(14 < \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{t} < 14.0001\) จงหาว่า \(t\) มีค่าอยู่ในช่วงใด
  
  \choices{\([1,10^4)\)}{\([10^4,10^8)\)}{\([10^8,10^{12})\)}{\([10^{12},10^{16})\)}

  \item กำหนดให้ \(x^2 + 4x + 1 = 0\) จงหาค่าของ
  
  \(\sqrt{x^{10} + 12x^9 + 34x^8 + 21x^7 + 42x^6 + 30x^5 + 10x^4 + 10x^3 + 25x^2 + 21x + 40}\)

  \choices{2}{3}{6}{10}

  \item คน 6 คนนั่งอยู่รอบโต๊ะกลม จงหาจำนวนวิธีของการจับมือของคน 3 คู่โดยที่ไม่มีแขนไขว้กัน 
  
  \choices{2 วิธี}{3 วิธี}{4 วิธี}{5 วิธี}

  \item กำหนดลำดับของจำนวนเต็มบวก \(1, 3, 4, 7, 11, 18, \ldots\) ถ้า \(a\) เป็นจำนวนในลำดับที่ 2550 ของลำดับนี้ ซึ่ง \(\sqrt[2550]{a - \frac{1}{a - \frac{1}{a - \ldots}}} = \frac{p + \sqrt q}{r}\) โดย \(p\), \(q\), \(r\) เป็นจำนวนเต็มบวก และตัวหารร่วมมากของ \(q\) และ \(r\) มีค่าเป็น 1 จงหาค่าของ \(p + q + r\)
  
  \choices{6}{7}{8}{9}
  
  \item แบ่ง 43 เป็นผลบวกของ 2 ส่วน โดยที่ผลบวกของสองเท่าของส่วนแรกกับกำลังสองของส่วนที่สองมีค่าน้อยที่สุด จงหาผลคูณของทั้งสองส่วนนี้
  
  \choices{280}{120}{42}{372}

  \item ในสามเหลี่ยม \(ABC\) มี \(\angle ABC = 90^ \circ \) จุด \(D\) และ \(E\) อยู่บน \(AC\) โดย \(AD = 4\), \(DE = EC = 8\), \(AB = 12\) และ \(BC = 16\) จงหาขนาดของ \(\angle DBE\)
  
  \choices{\(30^ \circ \)}{\(45^ \circ \)}{\(60^ \circ \)}{\(75^ \circ \)}

  \item จำนวน 716 สามารถเขียนได้ในรูปของ \(x^2 - y^2 \) ได้หลายวิธี โดยที่ \(x,\)\(y\) เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาผลบวกของค่าของจำนวนเต็มบวก \(x\) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
  
  \choices{180}{450}{570}{900}

  \item ให้ \(a = x + y + z\) และ \(b = xy + yz + zx\) ถ้า \(a - b\) = \(x^2 - x - 62\) = \(y^2 - y - 76\) = \(z^2 - z - 98\) จงหาค่าของ \(3x + 2y + z\) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
  
  \choices{26, -20}{20, -26}{24, -18}{18, -24}
  
\end{enumerate}
\end{document}
  


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ