ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

EXIMIUS ชุดที่ 7



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{EXIMIUS: เซียนคณิตพิชิตโจทย์ จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\newcommand{\choices}[4]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicess}[4]{ \begin{tabular}{p{6cm} l} ก. #1 & ข. #2 \\ ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicessss}[4]{ \begin{tabular}{l} ก. #1 \\ ข. #2 \\ ค. #3 \\ ง. #4 \\ \end{tabular}}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent หนังสือ EXIMIUS: เซียนคณิตพิชิตโจทย์\\
แบบทดสอบชุดที่ 7

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 17 พฤษภาคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \ สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip

\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% material
\newpage
\setcounter{page}{1}

\begin{enumerate}
  \item ช็อกโกแลตที่เก็บไว้ในตู้เย็นในห้องพักอาจารย์หายไป อาจารย์จึงเรียกนักเรียนมาสอบสวนเพื่อหาตัวคนขโมย พบผู้ต้องสงสัยเป็นนักเรียนหญิง 6 คน คือ A, K, S, N, Y และ H อาจารย์ น. จึงถามว่า ``ใครเป็นคนขโมย''
  
  คำตอบของนักเรียนแต่ละคนมีดังนี้
  
  \begin{enumerate}[ \ ]
    \item A: N และ H ไม่ได้ขโมย
    \item K: A ไม่ได้ขโมย
    \item S: K ไม่ได้ขโมย
    \item N: Y ไม่ได้ขโมย	
    \item Y: K และ N เป็นคนขโมย
    \item H: S ไม่ได้ขโมย
  \end{enumerate}
  
  พอได้ฟังคำตอบ อาจารย์ น. ก็รู้สึกงงเป็นอย่างมาก เพราะไม่ทราบว่าใครพูดความจริงและใครโกหก อาจารย์ ท. ก็เลยถามไปอีกคำถามว่า ``เมื่อกี้ใครโกหกอาจารย์ น.''
  
  \begin{enumerate}[ \ ]
    \item A: K โกหกอาจารย์ น.
    \item K: H ไม่ได้โกหกอาจารย์ น.
    \item S: A ไม่ได้โกหกอาจารย์ น.
    \item N: หนูไม่ได้โกหกอาจารย์ น. นะคะ
    \item Y: H โกหกอาจารย์ น.
    \item H: S โกหกอาจารย์ น.
  \end{enumerate}
  
  อาจารย์ ท. ก็ยิ่งงงเข้าไปอีก เพราะก็ยังไม่ทราบอยู่ดีว่าในคำถามนี้มีใครโกหกบ้าง แต่ข้อมูลที่ทราบทั้งหมดมีเพียงเท่านี้
  
  \begin{itemize}
    \item คนขโมยอาจจะมีแค่คนเดียวหรือร่วมกันขโมยมากกว่า 1 คนก็ได้
    \item แต่ละคนสามารถพูดความจริงหรือโกหกได้โดยอิสระ (ไม่จำเป็นว่าขโมยจะต้องโกหกหรือคนอื่นต้องพูดความจริง)
    \item คนที่โกหกอาจารย์ น. จะไม่โกหกอาจารย์ ท.
  \end{itemize}
  
  จงหาว่า คนที่ขโมยช็อกโกแลตทั้งหมดมีใครบ้าง
  
  \item จงยกตัวอย่างชุดของจำนวนเต็มบวก 2551 จำนวน (อาจซ้ำกันได้) ซึ่งผลบวกของทุกจำนวนมีค่าเท่ากับผลคูณของทุกจำนวน มา 12 ชุด

  \item หลังจากการสอบปลายภาคที่มีคะแนนเต็ม 100 คะแนน ปรากฏว่านักเรียนห้อง Gifted Math จำนวน 10 คน ได้คะแนนเป็นจำนวนเต็ม และไม่มีใครได้คะแนนต่ำกว่า 60 คะแนน แต่อาจารย์ทำคะแนนของนักเรียนหายไป 3 คน โดยนักเรียน 7 คนที่เหลือได้คะแนนดังนี้ 68, 76, 78, 81, 87, 87, 92 ถ้าทราบว่าคะแนนนักเรียนทั้ง 10 คนมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับมัธยฐาน จงหาคะแนนของนักเรียนทั้งหมด

  \item เขียนจำนวนเต็มบวก 16 จำนวนที่แตกต่างกันลงในตารางขนาด \(4 \times 4\) โดยให้ผลคูณของจำนวนในทุกแถว ทุกหลัก และทุกแนวทแยงมุมมีค่าเท่ากัน ให้ \(m\) เป็นจำนวนที่มีค่ามากที่สุดในตาราง จงหาค่า \(m\) ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
  
  \item จงหาค่าของ \(\sum_{k=4}^{\infty} \frac{1}{{k \choose 4}}\) เมื่อ \({n \choose r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
  
  \item มีจำนวนเต็มบวก \((a, b, c, d)\) ทั้งหมดกี่ชุด ที่ \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}\) เป็นจำนวนเต็ม

  \item วางหมากจำนวนหนึ่งลงบนกระดานขนาด \(21 \times 21\) โดยหมากที่มีหมากตัวอื่นวางอยู่ในแนวเดียวกันทั้งสี่ทิศทางคือ บน ล่าง ซ้าย ขวา จะเรียกว่า ``หมากที่ถูกปิด'' จงหาว่าสามารถวางหมากลงบนกระดาน \(21 \times 21\) ได้มากที่สุดกี่ตัว โดยที่ไม่มี  ``หมากที่ถูกปิด''

  \item ให้ \(x, y, z\) เป็นจำนวนจริงใดๆ
  จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ \[\frac{x^2}{\left( {3x - 2y - z} \right)^2} + \frac{y^2}{\left( {3y - 2z - x} \right)^2} + \frac{z^2}{\left( {3z - 2x - y} \right)^2}\]

  \item พิจารณาการสร้างต่อไปนี้

  กำหนด มุมแหลม \(ABC\), สร้างเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ \(BC\) กำหนด \(D\) และ \(E\) บนเส้นตรงนี้ โดยให้ \(BD = DE\)

  ลากเส้นตรงที่ผ่าน \(D\) และ \(E\) โดยให้ขนานกับ \(BC\) คือ \(L_1\) และ \(L_2\) ตามลำดับ

  พับระนาบนี้ โดยให้ \(E\) มาทับ \(AB\) ที่ \(E'\) และ \(B\) มาทับเส้นตรงที่ขนานกับ \(BC\) ที่ผ่าน \(D\) ที่ \(B'\)

  จงแสดงว่า \(BB'\) และ \(BD'\) แบ่งมุม \(ABC\) ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน

  \begin{center}
    \includegraphics[height=4cm]{exm-7-9.png}
  \end{center}

  \item ให้ \(a, b, c, d\) เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ \[\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{ab + bc + cd}\]

  \item ให้ \(a, b, c, d, e, f, g\) เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ \[\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2 + g^2}
  {ab + bc + cd + de + ef + fg}\]

  \item นิยาม: ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_1,x_2,x_3, \ldots ,x_n\) หมายถึง \(\sqrt {\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n {(x_i - d)^2}} \) เมื่อ \(d\) เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ \(x_1,x_2,x_3, \ldots ,x_n\)

  การสอบมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน โนโดกะ ยูเอะ และฮารุนะได้คะแนนสอบเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งใน 3 คนนี้ โนโดกะได้คะแนนมากที่สุด และยูเอะได้คะแนนน้อยที่สุด โดยที่ไม่มีใครได้ต่ำกว่า 50 คะแนน และฮารุนะได้คะแนนมากกว่ายูเอะไม่เกิน 15 คะแนน \\

  ให้  \(m\) 	เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนของทั้งสามคน \\
  ให้  \(M\)	เป็นมัธยฐานของคะแนนของทั้งสามคน \\
  ให้  \(\sigma\)	เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนของทั้งสามคน \\

  ถ้า \(\sigma ^2\), \(m\), \(M\) มีค่าเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมมากกว่า 0

  จงหาคะแนนของ (โนโดกะ, ยูเอะ, ฮารุนะ) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

  \item ให้ \(a, b, c, d\) เป็นจำนวนจริงไม่ติดลบใดๆ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
   \[\frac{a}{716a + b + c + d} + \frac{b}{716b + c + d + a} + \frac{c}{716c + d + a + b} + \frac{d}{716d + a + b + c}\]
  
\end{enumerate}
\end{document}
  


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ