ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

TUGMOs1 รอบที่ 2



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}
\usepackage{hyperref}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent ข้อสอบ TUGMOs ครั้งที่ 1 รอบที่ 2\\
\noindent สอบวันที่ 6 กุมภาพันธ์ 2547

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 19 มกราคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \  สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip
\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้สัญญา \href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/}{Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% instruction page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\setcounter{page}{1}

\noindent
\begin{tabular}{l l} 
\multirow{4}{*}{\includegraphics[width=3.2cm]{tugmos.png}} & \small{ข้อสอบแข่งขันในโครงการสรรหานักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์} \\
 & \small{โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา	ประจำปีการศึกษา 2546} \\ 
 & \small{วิชา คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น รอบที่ 2} \\ 
 & \small{สอบวันศุกร์ที่ 6 กุมภาพันธ์ 2547  เวลา  13.00-14.00 น.} \\
 & \\
 \hline 
\end{tabular} 

\bigskip

\bigskip

\begin{center}
\framebox{
  \parbox{14cm}{

    \noindent \textbf{คำชี้แจง}

    \begin{enumerate}
      \item แบบทดสอบฉบับนี้มี 20 ข้อ ข้อละ 62 คะแนน \\
      ตอบผิดหักครั้งละ 5 คะแนน
      \item ใช้เวลาสอบ 1 ชั่วโมง (13.00 - 14.00 น.)
      \item กรอกข้อมูลลงในกระดาษคำตอบให้ครบถ้วนและชัดเจน \\
      และ จัดคำตอบให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
      \item หากมีข้อสงสัยให้ยกมือขึ้นเหนือศีรษะเพื่อสอบถามจากกรรมการคุมสอบ
      \item คำตัดสินของคณะกรรมการจัดสอบถือเป็นข้อยุติ
      \item ไม่อนุญาตให้เปิดข้อสอบก่อนได้รับอนุญาต
      \item อนุญาตให้สามารถปรึกษาภายในทีมเดียวกันได้
      \item ห้ามปรึกษาเสียงดังรบกวนผู้อื่น
      \item ไม่อนุญาตให้ใช้เครื่องคำนวณ
      \item ห้ามทุจริตในการสอบ
      \item ไม่อนุญาตให้ใช้เครื่องคำนวณ
    \end{enumerate}
  }
}
\end{center}

% problems
\newpage

\noindent
\begin{tabular}{l l} 
\multirow{4}{*}{\includegraphics[width=3.2cm]{tugmos.png}} & \small{ข้อสอบแข่งขันในโครงการสรรหานักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์} \\
 & \small{โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา	ประจำปีการศึกษา 2546} \\ 
 & \small{วิชา คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น รอบที่ 2} \\ 
 & \small{สอบวันศุกร์ที่ 6 กุมภาพันธ์ 2547  เวลา  13.00-14.00 น.} \\
 & \\
 \hline 
\end{tabular} 

\begin{enumerate} 
  \item กำหนดให้ 
  \[\frac{{\sqrt {xy - yz - zx}  + \sqrt {x^2 y^2  + y^2 z^2  + z^2 x^2  + 3x^2 yz + 3xy^2 z + 2xyz^2 } }}
{{\sqrt {x^2 y^2  + y^2 z^2  + z^2 x^2  + 2xyz^2  - x^2 yz - xy^2 z}  + \sqrt {\left( {y + x} \right)z - xy} }} = \tan \theta \]
  และ \(\frac{{11xy^2 z^3  + 7x^2 y^3 z + 3x^3 yz^2 }}
{{179xy + 37x^2 y + 31xz}} = 9\) \\
  จงหาค่าของ \(\sec ^2 \theta  - 1\)
  
  \item ให้ ABCDEF เป็นรูป หกเหลี่ยมมุมเท่า มีความยาวด้านดังรูป
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{2-2.png}
  \end{center}
  
  จงหาค่าของ \(x-y\)

  \item ลูกเต๋าไม่เที่ยงลูกหนึ่ง มีโอกาสออกเลข n เป็น n เท่าของเลข 1 ,n=1,2,3,4,5,6 เมื่อโยนลูกเต๋านี้พร้อมกับลูกเต๋าที่เที่ยงตรง จงหาโอกาสที่จะหงายหน้าที่ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองลูกหารด้วย 4 ลงตัว
  
  \newpage
  \item จากรูป
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=5.8cm]{2-4.png}
  \end{center}
  
  จงหาขนาดของมุม \(x\) เมื่อ \( 0^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ}\) (มุมตกกระทบเท่ากับมุมสะท้อน)

  \item กำหนดลำดับ 7,9,19,39,71,117,179,\ldots จงหาพจน์ที่ 13 ของลำดับ

  \item จงหาค่าของ \(\sqrt{x^3 + y^3 \sqrt{x^3 + y^3 \sqrt{x^3 + y^3 \sqrt{x^3  + ...}}}} \) เมื่อ \(x,y \geq 0 \)
  
  \item ถ้าวันนี้ (6 ก.พ. 47) ได้ปรับเวลาให้ตรง ณ เวลา 12.00 น. นาฬิกาเดินช้าไปวันละ 12 นาที ถ้าปีหน้า (6 ก.พ. 48) คุณมาที่นี่อีกครั้ง เมื่อเวลาจริง 8.00 น.เข็มนาฬิกาจะทำมุมกันเท่าไร สมมติว่านาฬิกาเดินตลอดและไม่ปรับเวลาใหม่ (ตอบเป็นมุมที่กางน้อยกว่า 180 องศา)
  
  \item สนามหญ้าแห่งหนึ่งมีหญ้างอกสม่ำเสมอ ถ้าใช้วัว 60 ตัวจะกินหญ้าหมดในเวลา 60 วันหรือ วัว 80 ตัวกินหญ้าหมดในเวลา 40 วัน ถ้าให้วัวกินหญ้า 4 วันแล้วหยุด 1 วันทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนครบ 34 วันพบว่าหญ้าหมดพอดี ถามว่า มีวัวกี่ตัว

  \item จงหาจำนวนของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ที่มีผลบวกความยาวด้านคือ 113 นิ้ว และ ความยาวด้านเป็นจำนวนเต็ม

  \item มีคุกกี้อยู่ 3 กล่อง A,B,C 
  
  \begin{tabular}{l c l}
    นำคุกกี้	& 17 & ชิ้นจากกล่อง A ไปใส่กล่อง B \\
    นำคุกกี้	& 9 & ชิ้นจากกล่อง B ไปใส่กล่อง C \\
    นำคุกกี้	& 6 & ชิ้นจากกล่อง C ไปใส่กล่อง A \\
  \end{tabular}
  
  ในที่สุดทั้งสามกล่องมีคุกกี้เท่ากัน \\
  ถามว่า เดิมกล่อง A มีคุกกี้กี่ชิ้น ถ้ามีคุกกี้น้อยที่สุด

  \item จงหาผลคูณ \(\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \times \frac{15}{16} \times \ldots \times \frac{9999}{10000}\)
  
  \item เส้นส่วนสูง \(\overline{AP}, \overline{BQ}, \overline{CR}\) ถูกวาดใน \(\triangle ABC\) และตัดกันที่จุด \(H\) (เส้นส่วนสูงของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดเดียว) \\
  กำหนดให้ \(AH = BC = x\), \(RP = y\) และ \(PQ = z\)\\
  จงหารัศมีวงกลมล้อมรอบ \(\triangle RPQ\) (ตอบในเทอมของ \(x,y,z\) )

  \item จงแก้ระบบสมการ \\
  ให้ \(a, b, c, d\) เป็นจำนวนจริงบวกหรือ 0
  \begin{align*}
    a^2 + b^2& = 5 \\
    c^2 + d^2& = 5 \\
    ac + bd& = 5 \\
    ac - bd& = 3
  \end{align*}
  
  \item มีลูกเหล็ก 5 ลูก เมื่อชั่งชิ้นที่ 1 กับชิ้นที่ 2 จะมีน้ำหนัก 12 กิโลกรัม, ชิ้นที่ 2 กับชิ้นที่ 3 จะมีน้ำหนัก 13.5 กิโลกรัม, ชิ้นที่ 3 กับชิ้นที่ 4 จะมีน้ำหนัก 11.5 กิโลกรัม, ชิ้นที่ 4 กับชิ้นที่ 5 จะมีน้ำหนัก 8 กิโลกรัม, ชิ้นที่ 1 กับชิ้นที่ 3 กับชิ้นที่ 5 จะมีน้ำหนัก 16 กิโลกรัม จงหาว่าแต่ละชิ้นหนักกี่กรัม

  \item เอกเป็นประธานชมรมคณิตศาสตร์ เขาอยู่ปี 4 และมีกรรมการอีก 3 คนอยู่ปี 1, ปี 2 และ ปี3 ทั้งสี่นั่งประชุมรอบโต๊ะกลม โดยเอกนั่งทางซ้ายของแพร โจนั่งอยู่ทางขวาของนักศึกษาปี 3 แนนซึ่งไม่ใช่นักศึกษาปี 2 นั่งตรงข้ามกับแพร  จงหาว่าใครเป็นนักศึกษาปีไหน และนั่งโต๊ะอย่างไร

  \item สมการ \(x^2 - 14x + k = 0\) โดยที่ \(k\) เป็นจำนวนเต็มบวก มีรากเป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันแทนด้วย \(p, q\) 
จงหาค่าของ \(\frac{p}{q} + \frac{q}{p}\) (ตอบเป็นค่าคงที่)

  \item จงหาจำนวนเต็มบวก \(c\) ทั้งหมดที่ทำให้สมการ \( (m^2 + 1) (n^2 + 1) = (cmn + 1)^2 + 1 \) มีจำนวนคำตอบ \((m,n)\) ที่เป็นจำนวนเต็มบวกเป็นอนันต์

  \item ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมใดๆ และจุด P เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม ABC ซึ่งทำให้ \\
   \(\angle PBC = \angle PCA < \angle PAB\) เส้นตรง PB ตัดวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ที่ B และ E เส้นตรง CE ตัดวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม APE ที่ E และ F จงหา [APEF]:[ABP] (AB=c, BC=a, AC=b) ตอบในเทอมของ a, b, c

  \item เมือง TU ใช้เหรียญ 3 แบบ แต่ละเหรียญมีมูลค่าเป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งแตกต่างกัน ยอดมีเหรียญ TU 4 เหรียญคิดเป็นเงินไทย 28 บาท เพชรมีเหรียญ TU 5 เหรียญคิดเป็นเงินไทย 21 บาท แต่ละคนมีเหรียญ TU ทั้งสามแบบ เมื่อคิดเป็นเงินไทยแล้วเหรียญ TU ทั้ง 3 แบบมีมูลค่ารวมกันกี่บาท

  \newpage
  \item จากรูป
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=5.8cm]{2-20.png}
  \end{center}
  
  วงกลมเล็กทุกรูปมีรัศมี 1 หน่วย และมุม C เป็นมุมฉาก วงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC มีรัศมีเท่าไร
\end{enumerate}
\end{document}


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ