ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

TUGMOs2 รอบที่ 1



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\newcommand{\choices}[5]{ \begin{tabular}{ p{2cm} p{2cm} p{2cm} p{2cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 & จ. #5 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicess}[5]{ \begin{tabular}{p{3.5cm} p{3.5cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 \\ ง. #4 & จ. #5 & \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicesssss}[5]{ \begin{tabular}{l} ก. #1 \\ ข. #2 \\ ค. #3 \\ ง. #4 \\ จ. #5 \\ \end{tabular}}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent ข้อสอบ TUGMOs ครั้งที่ 2 รอบที่ 1\\
\noindent สอบวันที่ 14 ธันวาคม 2547

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 21 มกราคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \  สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip
\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้สัญญา \href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/}{Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% problems
\newpage
\setcounter{page}{1}

\noindent
\begin{tabular}{l l} 
\multirow{4}{*}{\includegraphics[width=3.2cm]{tugmos.png}} & \small{ข้อสอบแข่งขันในโครงการสรรหานักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์} \\
 & \small{โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา	ประจำปีการศึกษา 2547} \\ 
 & \small{วิชา คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น รอบที่ 1} \\ 
 & \small{สอบวันอังคารที่ 14 ธันวาคม 2547  เวลา  09.30-11.30 น.} \\
 & \\
 \hline 
\end{tabular} 

\begin{enumerate}
  \item กำหนด \(x\), \(y\) และ \(z\) เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับระบบสมการ
  \[\left\{ 
    \begin{gathered}
      x^2  + y^2  = 6z \hfill \\
      y^2  + z^2  = 6x \hfill \\
      z^2  + x^2  = 6y \hfill \\ 
    \end{gathered}
  \right. \]

  ถ้า \(S = x+y+z\) จงหาผลรวมของ \(S\) ทุกชุดที่เป็นไปได้ทั้งหมด
  
  \choices{0}{3}{9}{-9}{ไม่มีข้อใดถูก}
  
  \item วงกลมรัศมี 7 หน่วย 4 วงตัดกันที่จุดหนึ่งดังรูป ซึ่งเส้นเชื่อมจุดกึ่งกลางของวงกลมที่อยู่ตรงข้ามกันตั้งฉากกันที่จุดตัดของวงกลมทั้งสี่วง จงหาพื้นที่บริเวณที่แรเงา

  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{tug2-1-2.png}
  \end{center}

  \choicess{84 ตารางหน่วย}{112 ตารางหน่วย}{154 ตารางหน่วย}{196 ตารางหน่วย}{392 ตารางหน่วย}

  \item จงหาจำนวนคำตอบ (x, y, z) ที่สอดคล้องระบบสมการ
  \[\left\{ 
    \begin{gathered}
      x + y + z = 0 \hfill \\
      \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \hfill \\ 
    \end{gathered} 
  \right. \]
  เมื่อ x, y, z เป็นจำนวนจริง
   
  \choices{0}{2}{4}{6}{มีจำนวนคำตอบมากมาย}

  \newpage

  \item จงหา \(PQ^2\)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=7cm]{tug2-1-4.png}
  \end{center}

  \begin{tabular}{l l}
    ก. & \(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab\left( {\cos A\cos B + \sin A\sin B} \right) + 2bc\left( {\cos B\cos C + \sin B\sin C} \right)\) \\
    & \(+ 2ac\left( {\cos A\cos C + \sin A\sin C} \right)\) \\
    ข. & \(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab\left( {\cos A\cos B - \sin A\sin B} \right) + 2bc\left( {\cos B\cos C - \sin B\sin C} \right)\) \\
    & \(+ 2ac\left( {\cos A\cos C - \sin A\sin C} \right)\) \\
    ค. & \(\frac{{a^2 }}{{\sin A}} + \frac{{b^2 }}{{\sin B}} + \frac{{c^2 }}{{\sin C}} - 2ab\cos C - 2bc\cos A - 2ac\cos B\) \\ 
    ง. & \(\frac{{a^2 }}{{\sin ^2 B}} + \frac{{b^2 }}{{\sin ^2 C}} + \frac{{c^2 }}{{\sin ^2 A}} - 2ab\cos C - 2bc\cos A - 2ab\cos C\) \\ 
    จ. & ไม่มีข้อใดถูก \\
  \end{tabular}
  
  \item กำหนด \(x\), \(y\) เป็นจำนวนจริงซึ่ง \(0 < x < y\) และ \(x^2 + y^2 = 5xy\) จงหาค่าของ \(\frac{{\left( {x + y} \right)^3 }}{{x^3 - y^3 }}\)
  
  \choices{\(\frac{{7\sqrt {21} }}{6}\)}{\( - \frac{{7\sqrt {21}}}{6}\)}{\(\frac{{7\sqrt {21} }}{{18}}\)}{\( - \frac{{7\sqrt {21} }}{{18}}\)}{ไม่มีข้อใดถูก}

  \item กำหนด \(P\left( x \right) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n \) เมื่อ \(a_i\) เป็นสัมประสิทธิ์ของ \(x_i\) ถ้า \(P\left( x \right) = \left( {1 + x} \right)^{335} \)
  
  จงหาค่าของ \(\sqrt[{2004}]{{a_{168} + a_{169} + a_{170} + ... + a_{335} }}\)
  
  \choices{\(\sqrt 2 \)}{\(\sqrt[3]{2}\)}{\(\sqrt[4]{2}\)}{\(\sqrt[6]{2}\)}{ไม่มีข้อใดถูก}

  \item จงหารูปอย่างง่ายของ \(\left( {\frac{{a^3 - 3a^2 - 3a + 1}}{{b^3 - 3b^2 - 3b + 1}} + \frac{{b^3 - 3b^2 - 3b + 1}}{{a^3 - 3a^2 - 3a + 1}}} \right)^4 \) เมื่อ \(ab = 1\) และ \(a \ne 1\)

  \choicesssss{16}{\(a^4 + 4a^2 + 4b^2 + b^4 + 6\)}{\(a^{12} + 4a^6 + 4b^6 + b^{12} + 6\)}{\(a^{16} + 4a^8 + 4b^8 + a^{16} + 6\)}{ไม่มีข้อใดถูก}
  
  \newpage
  
  \item ถ้ากราฟ \(y = x^2 + c\) ตัดกับกราฟ \(x^2 + y^2 = 4\) ทั้งหมด 4 จุด เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว ข้อใดถูกต้องที่สุด
  
  \choicesssss{\(c > 2\)
 }{\(-4 < c < -2\) 
 }{\(\left( { - \sqrt 2 ,2} \right)\) อาจเป็นหนึ่งในสี่จุดที่กราฟตัดกันได้
 }{ถูกทั้งข้อ 1 และ 2
 }{ไม่มีข้อใดถูก}
  
  \item \(AOB\) เป็นเซกเตอร์ของวงกลมที่มี \(O\) เป็นจุดศูนย์กลาง ถ้า \(AO = 10\) หน่วยและ \(BC = 5\) หน่วย จงหาพื้นที่บริเวณที่แรเงา
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=4cm]{tug2-1-9.png}
  \end{center}

  \choicess{\(\frac{{50\pi - 75\sqrt 3 }}{6}\)}{\(\frac{{100\pi - 75\sqrt 3 }}{6}\)}{\(\frac{{100\pi - 25\sqrt 3 }}{6}\)}{\(\frac{{50\pi - 75\sqrt 3 }}{3}\)}{\(\frac{{100\pi - 75\sqrt 3 }}{3}\)}
  
  \item A เป็นภาชนะที่ใส่น้ำทรงกรวยมีฝาปิดที่มีน้ำอยู่ เป็นปริมาตร \(\alpha\) เท่าของปริมาตรกรวย A หลังจากใส่ทรงกรวยตัน B ลงไปในกรวย A ปิดฝากรวยแล้วตั้ง พบว่ากรวย B วางตัวดังรูป ถ้ามองจากด้านข้างภาชนะจะพบว่าหน้าตัดวงกลมของกรวย B อยู่พอดีกับระดับน้ำ จงหาอัตราส่วนของรัศมีกรวย A ต่อรัศมีกรวย B
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{tug2-1-10.png}
  \end{center}

  \choicess{\(1:\sqrt \alpha \)}{\(1:\sqrt {1 - \alpha }\)}{\(1:\sqrt[3]{\alpha }\)}{\(1:\sqrt[3]{{1 - \alpha }}\)}{\(1:\sqrt {1 - \alpha ^2 }\)}

  \newpage

  \item กำหนด ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และ \(AP_1 = P_1 P_2 = P_2 P_3 = CP_3 = BC = CP_2 = P_2 P_4 = P_4 P_5 = P_5 D = AD = 4 \) หน่วย
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{tug2-1-11.png}
  \end{center}  

  พิจารณาข้อความต่อไปนี้
  
  \begin{enumerate}
    \item \(\Delta ADP_5 \sim \Delta BCP_3 \)
    \item \(\Delta P_5 P_4 P_2 \sim \Delta CP_2 P_3 \)
    \item พื้นที่ \(\Delta P_5 P_4 C\) = พื้นที่ \(\Delta AP_2 P_3 \)
    \item พื้นที่ \(\Delta P_4 P_5 D\) = พื้นที่ \(4 \sqrt 3 \) ตารางหน่วย
  \end{enumerate}
  
  มีข้อความที่กล่าวได้ถูกต้องทั้งหมดกี่ข้อ
  
  \choices{0 ข้อ}{1 ข้อ}{2 ข้อ}{3 ข้อ}{4 ข้อ}
  
  \item ให้ลำดับ \(A_1 ,A_2 ,A_3 ,\ldots,A_n\) มีสมบัติว่า \(A_n + A_{n + 1} = A_{n + 2}\) สำหรับทุกๆ \(n \geq 1\) และ \(A_2 = 3,A_{50} = 300\)
  
  จงหาค่าของ \(A_1 + A_2 + A_3 + \ldots + A_{48}\)
  
  \choices{100}{297}{303}{900}{ไม่มีข้อใดถูก}

  \item จงหาค่าของ \(k^2 + \frac{{60}}{{k + 2}}\) เมื่อ \(k\) เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ \(\left| {\left| {\left| {x - 2} \right| - 3} \right| + k} \right| = 4\) มีคำตอบ 5 คำตอบ
  
  \choices{21}{37}{\(55\frac{2}{3}\)}{61}{ไม่มีข้อใดถูก}
  
  \item กำหนด \(\left| a \right|\) และ \(b\) เป็นจำนวนเต็มบวกที่มี 4 หลัก โดยที่ \(a + b = 2547\) 
  
  จงหาว่ามีจำนวนเต็ม \(a\) ที่เป็นไปได้ทั้งหมดกี่จำนวน
  
  \choices{548}{2548}{7001}{8001}{9001}
  
  \item ให้ \(\overline {x_n x_{n - 1} x_{n - 2} \ldots x_1 x_0 }\) แทนจำนวนในเลขฐาน 10 ซึ่ง \(x_0\) เป็นหลักหน่วย, \(x_1\) เป็นหลักสิบ, \ldots จงหาค่าของ \(a^3 + b^2 + c\) เมื่อ \(a\), \(b\) และ \(c\) สอดคล้องเงื่อนไข \(\overline {ab} + \overline {bc} + \overline {ca} = \overline {abc} \) (และ \(a \ne 0\))
  
  \choices{90}{79}{74}{18}{ไม่มีคำตอบ}
  
  \item ในการสอบวิทยาศาสตร์ของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีข้อสอบ 7 ข้อโดยที่เป็นแบบปรนัย 2 ตัวเลือกทุกข้อ ถ้าหากตอบถูกจะได้ข้อละ 5 คะแนน แต่หากตอบผิดจะถูกหัก 1 คะแนน หากนักเรียนทุกคนต้องตอบทุกข้อและจะผ่านเกณฑ์เมื่อได้คะแนนไม่ติดลบ จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนหนึ่งจะสอบผ่าน
  
  \choices{\(\frac{1}{{16}}\)}{\(\frac{7}{{128}}\)}{\(\frac{1}{2}\)}{\(\frac{{121}}{{128}}\)}{\(\frac{{15}}{{16}}\)}
  
  \item ทุ่งหญ้าแห่งหนึ่งมีหญ้างอกสม่ำเสมอตลอดเวลา โดยสามารถเลี้ยงวัวได้ 70 ตัวในเวลา 24 วัน เลี้ยงได้ 30 ตัวใน 60 วัน
  
  ถ้าต้องการเลี้ยงวัวได้นาน 96 วันพอดี จะต้องเลี้ยงวัวกี่ตัว
  
  \choices{12 ตัว}{15 ตัว}{24 ตัว}{25 ตัว}{ไม่มีคำตอบ}
  
  \item กำหนดข้อมูลทางสถิติดังนี้ \(a + 3,1,b - 1,\frac{{a^2 + 4}}{4},b^2 + 1\) โดยข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 0.75 มีมัธยฐานเท่ากับ \(c\) และฐานนิยมเท่ากับ \(d\) จงหาค่าของ \(d^c \cdot c^b \cdot b^a \cdot a^d \)
  
  \choices{-8}{8}{-4}{4}{2}
  
  \item ฝากเงิน 1,000,000 บาทในธนาคารที่คิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 1 ปีโดยที่ปีที่ 1 คิดดอกเบี้ย 1\% และปีที่ \(k\) คิดดอกเบี้ย \(k\)\% เมื่อครบ 3 ปีจะมีเงินในธนาคารเท่าไร
  
  \choicess{1,020,106 บาท}{1,030,000 บาท}{1,030,301 บาท}{1,060,006 บาท}{1,061,106 บาท}
  
  \item ลำดับ 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, \ldots มีผลบวกของ 335 พจน์แรกเท่ากับเท่าใด
  
  \choices{5525}{5785}{6045}{6201}{6461}

  \item ให้ \(a_0 ,a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n\) เป็นจำนวนจริงลบซึ่ง \(a_i a_{n - i} = 1\) และ \(a_i \ne - 1\) สำหรับทุกๆ i = 0, 1, \ldots , \(n\) 
  
  และให้ \(b_{\left( {n,k} \right)} = \frac{1}{{1 + a_0^k }} + \frac{1}{{1 + a_1^k }} + ... + \frac{1}{{1 + a_n^k }}\) เมื่อ \(k\) เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ \(b_{\left( {2004,2547} \right)}\)
  
  \choices{2005}{2004}{1002.5}{1002}{1001.5}
  
  \item ถ้า \(k\) เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ \(\frac{{13552_k }}{{121_k }}\) มีค่าใกล้เคียง 344 มากที่สุด จงหาว่ามีจำนวนที่เป็นตัวประกอบที่เป็นบวกของ \(k\) กี่จำนวน (\(121_k\) เป็นตัวเลขที่เขียนในฐาน \(k\))
  
  \choices{2}{3}{4}{5}{6}
  
  \newpage
  
  \item เด็กชายคนหนึ่งต้องการเดินจากจุด \(A\) ไป \(B\) ตามเส้นทางที่กำหนดโดยสี่เหลี่ยมย่อยมีด้านยาวด้านละ 1 หน่วย เด็กชายคนนี้นับจำนวนเต็มจำนวนหนึ่งก่อนเดินก้าวแรกและนับเพิ่มขึ้นทีละ 1 จากจำนวนเดิมก่อนจะเดินก้าวต่อไป ทำเช่นนี้จนเดินถึงจุด \(B\)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=2.5cm]{tug2-1-23.png}
  \end{center}  

  ถ้ากำหนดเงื่อนไขต่อไปนี้
  
  \begin{enumerate}
    \item เด็กชายคนนี้รู้จักจำนวนเต็มตั้งแต่ -7 ถึง 77 เท่านั้น
    \item ทุกครั้งที่นับได้จำนวนที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์เขาจะก้าวเปลี่ยนทิศทางเสมอ (ก้าวอื่นเดินอย่างไรก็ได้)
    \item เขาเดินได้ก้าวละ 1 หน่วยและต้องการเดินให้ได้ระยะทางสั้นที่สุด
  \end{enumerate}
  
  จงหาว่ามีกี่จำนวนที่เขาสามารถนับเป็นจำนวนแรกได้
  
  \choices{70}{75}{76}{79}{84}

  \item ให้ \(x:y = 3:5\) และ \(y:z = 2:4\) จงหาค่าของ \(3^{\frac{{5x}}{{y + z}} + \frac{{13y}}{{z + x}} - \frac{{4z}}{{x + y}}}\)
  
  \choices{\(\frac{1}{3}\)}{1}{3}{311}{ไม่มีข้อใดถูกต้อง}
  
  \item จงหาเศษเหลือจากการหาร \(x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 7x - 9\) ด้วย \(2x - 3\)
  
  \choices{\(\frac{{87}}{{32}}\)}{\(\frac{{87}}{{16}}\)}{\(\frac{{87}}{8}\)}{87}{ไม่มีข้อใดถูกต้อง}
  
  \item ให้ \(a\) และ \(b\) เป็นรากของ \(x^2 - 6x - 247\) และ \(c\) และ \(d\) เป็นรากของ \(x^2 - \left( {2a + b} \right)x - 5b + 1\) โดยที่\(a > b,c > d\) 
  
  จงหาค่าของ \(\left| {\left( {a - c} \right)^2 + \left( {b - d} \right)^2 } \right|\)
  
  \choices{109}{265}{337}{2481}{ไม่มีข้อใดถูกต้อง}
  
  \item ให้ \(x\), \(y\), \(z\) เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ
  
  \[\left\{ 
    \begin{gathered}
      x + y = 8 - xy \hfill \\
      y + z = 15 - yz \hfill \\
      z + x = 24 - zx \hfill \\ 
    \end{gathered}
  \right. \]
  
  จงหา \(8x + 5y + 9z\) ที่มากที่สุด
  
  \choices{-124}{72}{35}{80}{ไม่มีคำตอบ}
  
  \item เจี๊ยบได้รับรางวัลจากการส่งชิ้นส่วนบะหมี่กึ่งสำเร็จรูปไปชิงโชคเป็นทองคำน้ำหนัก 9 กิโลกรัม อย่างไรก็ดี เจี๊ยบไม่อยากได้ทองคำ แต่ว่าต้องการเป็นเงินสดแทน ซึ่งเทมเสนอว่าจะรับซื้อทองคำดังกล่าวจากเจี๊ยบในราคาบาทละ 7,800 บาท ถามว่าเจี๊ยบจะได้รับเงินกี่ตำลึง

  \choicess{1,170,000}{1,404,000}{2,340,000}{7,020,000}{ไม่มีข้อถูก}
  
  \item ในการเข้าแถวของนักศึกษาวิชาทหารโดยไม่เรียงตามระดับความสูงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จงเปรียบเทียบความสูงของคนต่อไปนี้ เมื่อ
  
  \(a\) = ความสูงของคนที่สูงที่สุดในบรรดาคนที่เตี้ยที่สุดของแต่ละแถว
   
  \(b\) = ความสูงของคนที่เตี้ยที่สุดในบรรดาคนที่สูงที่สุดของแต่ละหลัก
  
  \choices{\(a > b\)}{\(a < b\)}{\(a \geq b\)}{\(a \leq b\)}{\(a = b\)}
  
  \item พิจารณารูปต่อไปนี้
  
  \begin{center}
    \begin{tabular}{c c}
      \includegraphics[height=4cm]{tug2-1-30-1.png} & \includegraphics[height=4cm]{tug2-1-30-2.png} \\
      \includegraphics[height=4cm]{tug2-1-30-3.png} & \includegraphics[height=4cm]{tug2-1-30-4.png} \\
    \end{tabular}
  \end{center}

  โดยที่ \(B_3 \hat M_3 N_3 = 135^\circ\) และ พื้นที่สามเหลี่ยม \(A_4 B_4 C_4\) เป็นสองเท่าของพื้นที่สี่เหลี่ยม \(D_4 E_4 H_4 F_4\)

  มีกี่รูปที่สามารถเกิดได้จริงบนระนาบในโลกแห่งความเป็นจริงนี้

  \choices{0 รูป}{1 รูป}{2 รูป}{3 รูป}{4 รูป}
  
\end{enumerate}
\end{document}

























* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ