ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

TUGMOs2 รอบที่ 2



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent ข้อสอบ TUGMOs ครั้งที่ 2 รอบที่ 2\\
\noindent สอบวันที่ 14 ธันวาคม 2547

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 21 มกราคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \  สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip
\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้สัญญา \href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/}{Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}


% problems
\newpage
\setcounter{page}{1}

\noindent
\begin{tabular}{l l} 
\multirow{4}{*}{\includegraphics[width=3.2cm]{tugmos.png}} & \small{ข้อสอบแข่งขันในโครงการสรรหานักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์} \\
 & \small{โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา	ประจำปีการศึกษา 2547} \\ 
 & \small{วิชา คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น รอบที่ 2} \\ 
 & \small{สอบวันอังคารที่ 14 ธันวาคม 2547  เวลา  13.00-14.00 น.} \\
 & \\
 \hline 
\end{tabular} 

\begin{enumerate} 
  \item จงหาจำนวนของจำนวนเต็ม \(k\) ซึ่งสอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้
  
  \begin{enumerate}
  	  \item ผลบวกของ \(k\) กับ 28 เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์
  	  \item ผลบวกของ \(k\) กับ 2800 เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์
  \end{enumerate}
  
  \item วงกลม \(O\) รัศมี 14.5 หน่วย จุด \(A, B, O\) เป็นจุดซึ่งอยู่บนวงกลม กำหนดให้  \(\overline{AD} \bot \overline {BC}\) ที่จุด \(C\) และ \(AC\) = 16 หน่วย, \(BC\) = 12 หน่วย จงหา \(CD\)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=6cm]{tug2-2-2.png}
  \end{center}
  
  \item ``วันเกิดมหัศจรรย์'' คือวันเกิดในปีที่เรามีอายุเท่ากับผลบวกของเลขโดดในปี ค.ศ. ที่เกิด เช่น คนที่เกิดปี 1899 จะมีวันเกิดมหัศจรรย์ในปี 1926 และ คนที่เกิดปี 1908 จะมีวันเกิดมหัศจรรย์ในปี 1926 เช่นเดียวกัน จงหาปีที่ถัดจาก 1926 (ปีแรก)ซึ่งมีคนที่เกิด ค.ศ. ต่างกัน แต่มีวันเกิดมหัศจรรย์ในปีเดียวกัน
  
  \item จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนเต็ม \(x\) ทั้งหมดที่ \(\frac{(x + 2)(x + 4)}{(x + 3)^2 } + \frac{1}{4}\) สามารถเขียนได้ในรูป  \(a^2\) เมื่อ \(a\) เป็นจำนวนตรรกยะ โดยที่  \( -332 \leq x \leq 326\)
  
  \newpage
  
  \item จากรูป ถ้า  \(\angle CAE = \angle DAE\), \(AB = 8\), \(BC = 4\), \(CA = 6\) จงหา \(CE\)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=6cm]{tug2-2-5.png}
  \end{center}
  
  \item จงหาว่ามีกี่วิธีในการใส่เลข 1, 2, 3, 4 ลงในตารางขนาด  \(4 \times 4\) โดยที่ผลบวกในแต่ละแถวและแต่ละหลักหารด้วย 4 ลงตัว
  
  {\bf ตัวอย่าง}

  \begin{center}
    \includegraphics[height=4cm]{tug2-2-6.png}
  \end{center}

  {\bf หมายเหตุ} ใส่เลขซ้ำได้ ไม่ใส่ก็ได้
  
  \item จงหาจำนวนเต็มสามหลัก \(m\) ซึ่งมีสมบัติว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวน 6 จำนวน(แตกต่างกัน) ที่เกิดจากการเรียนสับเปลี่ยนตัวเลขให้หลักต่างๆ ของ \(m\) จะมีค่าเท่ากับ \(m\)
  
  {\bf ตัวอย่าง} ตัวเลขที่เกิดจากการเรียงสับเปลี่ยนของ 123 คือ 123, 132, 213, 231, 312, 321
  
  \item จงหาจำนวนของจำนวนเต็ม \(n\) ซึ่งประกอบด้วยเลขโดด 9 ตัวเท่านั้นคือ 1, 2, \ldots, 9  โดยที่ตัวหารร่วมมากของ 90 กับ \(n\) ไม่เท่ากับ 18
  
  \item ให้ \(P(n)\) แทนจำนวนเฉพาะบวกที่มีค่าน้อยที่สุดที่หาร \(n\) ไม่ลงตัว เช่น \(P(7) = 2\), \(P(8) = 3\) และให้ \(G(n)\) แทนผลคูณของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า \(n\) ทั้งหมด โดยที่ \(G(2) = 1\)
  
  {\bf นิยาม} ลำดับ \(x_n\) เป็นลำดับซึ่งสอดคล้อง \(x_n  = \frac{x_{n - 1} P\left( {x_{n - 1} } \right)}{G\left( {P\left( {x_{n - 1} } \right)} \right)}\) โดยที่ \(x_0 = 1\)
  
  จงหา \(x_{2547}\)
  
  \item จงหาจำนวนนับ 4 หลักที่มีค่าน้อยสุดที่สามารถเขียนในรูปของจำนวนเต็มบวก 18 ตัวเรียงกันบวกกัน หรือ 19 ตัวเรียงกันบวกกัน หรือ 20 ตัวเรียงกันบวกกัน
  
  \item ในการแข่งขัน TUGMOs รอบที่ 1 ผลรวมคะแนนของยอดและเทมเท่ากับของอัพและลิ้ม ถ้าคะแนนของยอดและลิ้มสลับกันแล้วคะแนนของอัพและลิ้มจะมากกว่าผลรวมคะแนนของอีก 2 คนที่เหลือ นอกจากนี้คะแนนของเทมยังมากกว่าคะแนนของยอดและลิ้มรวมกัน  จงเรียงลำดับคะแนนจากมากไปน้อย โดยสมมติว่าคะแนนเหล่านี้ไม่ติดลบ
  
  \item ให้ x, y, z เป็นจำนวนจริงใดๆ โดยที่ \(x \geq y \geq z\) และสอดคล้องระบบสมการ 
  
    \[\begin{gathered}
      3x + 4y + 2z = 8 \hfill \\
      12xy + 8yz + 6zx = 19 \hfill \\
      xyz = \frac{1}
      {2} \hfill \\ 
    \end{gathered}\]
    
  จงหา  \(\left( {x,y,z} \right)\)
  
  \item จากรูป \(ABCD\) เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวด้านเป็นจำนวนเต็ม \(P\) เป็นจุดภายในซึ่งทำให้ \(PA = 29\) หน่วย, \(PB = 25\) หน่วย, \(PC = 17\) หน่วย แล้ว \(ABCD\) จะมีพื้นที่เท่าไร
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=6cm]{tug2-2-13.png}
  \end{center}

  \item	ให้สันทั้งหกของทรงสี่หน้า \(ABCD\) มีความยาว 7, 13, 18, 27, 36 และ 41 หน่วย ถ้าสัน \(AB\) ยาว 41 หน่วย จงหาความยาวของ \(CD\)
  
  \item แพน แม็ก และ วิชญ์ เล่นเกมจั่วไพ่กัน โดยนำไพ่มา 10 ใบหมายเลข 1, 2, \ldots, 10 ในการเล่นแต่ละคนจะจับไพ่ขึ้นมา 1 ใบ โดยคนที่ได้แต้มมากสุดจะได้ตีเพื่อนอีก 2 คน (ใครก็ได้) \(A\) ครั้ง คนที่ได้แต้มเป็นอันดับสองจะได้ตี \(B\) ครั้ง และคนที่ได้แต้มน้อยที่สุดจะได้ตี \(C\) ครั้ง (\(A, B, C\) เป็นจำนวนเต็มซึ่ง  \(A > B > C > 0\)) หลังจากเล่นครบตามจำนวนตาที่กำหนดแล้ว (ตีครบด้วย) แพนได้ตี 22 ครั้ง แม็กและวิชญ์ได้ตี 9 ครั้งเท่ากัน โดยในตาแรก แม็กจับไพ่แต้มมากที่สุด ถามว่าใครจับไพ่ได้แต้มเป็นที่สองในครั้งที่ 3
  
  \newpage
  
  \item วงกลม \(O\) สัมผัสวงกลม  \(O_1 ,O_2 ,O_3 ,O_4\) วงกลม \(O_1\) สัมผัสวงกลม  \(O_2\) ,\(O_3\) วงกลม \(O_2\) สัมผัสวงกลม  \(O_3\) ,\(O_4\) และวงกลม \(O_3\) สัมผัสวงกลม \(O_4\) ถ้ารัศมีวงกลม \(O = 2\) และ รัศมีวงกลม \(O_1\) = รัศมีวงกลม \(O_2\) = 1
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=7cm]{tug2-2-16.png}
  \end{center}
  
  จงหา รัศมีของวงกลม \(O_4\)

  \item หลังจากการแข่งขัน TUGMOs ผู้จัดการแข่งขันมีความคิดว่าจะไปเที่ยวต่างจังหวัดด้วยกัน โดยมีสถานที่ที่อยากไปคือ พัทยา, ระยอง, ตราด และดำเนินการเลือกสถานที่ที่จะไปโดยให้ผู้จัดการแข่งขันทั้ง 20 คนเขียนชื่อสถานที่ที่อยากไปเรียงตามลำดับจากมากไปน้อยลงในกระดาษ เมื่อพิจารณาทุกใบพบว่ามี 11 คนอยากไปพัทยามากกว่าระยอง, 12 คนอยากไปตราดมากกว่าพัทยา และ 14 คนอยากไประยองมากกว่าตราด อยากทราบว่าสถานที่ใดถูกเลือกเป็นอันดับแรกมากครั้งที่สุด ถ้าทราบว่าทุกลำดับการเรียงสถานที่ปรากฏในกระดาษอย่างน้อย 1 ใบ
  
  \item	นิยาม \(\Delta b = \frac{a^b}{a^b + \sqrt a}\) และให้
  
  \(A = \left( {1\Delta \frac{1}{2004}} \right) + \left( {2\Delta \frac{2}{2004}} \right) + \left( {3\Delta \frac{3}{2004}} \right) + \ldots + \left( {1002\Delta \frac{{1002}}{2004}} \right)\)
  
  \(B = \left( {1001\Delta \frac{{1003}}{2004}} \right) + \left( {1001\Delta \frac{{1004}}{2004}} \right) + \left( {999\Delta \frac{{1005}}{2004}} \right) + \ldots + \left( {1\Delta \frac{{2003}}{2004}} \right)\)
  
  จงหาค่าของ  \(A + B\)
  
  \newpage
  
  \item วงกลมสองวงมีจุดศูนย์กลางร่วมกันที่ \(O\) ถ้า  \(AU = 2\), \(UV = 10\), \(CX = 3\) 
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=6cm]{tug2-2-19.png}
  \end{center}
  
  จงหา \(XY\)

  \item	ชายสามคนหลงเข้าไปในดินแดนของคนป่าและถูกจับตัวได้ เพื่อการอยู่รอดพวกเขาต้องตอบคำถาม ให้ถูกต้อง ชายทั้งสามถูกนำมาเรียงแถวตอนเรียงหนึ่งโดยที่คนหลังสุดสามารถมองเห็นหัวของอีกสองคน คนกลางสามารถมองเห็นหัวของคนหน้า คนหน้าสุดไม่สามารถมองเห็นใครเลย
  
  คนป่าได้ให้ชายทั้งสามดูหมวก 5 ใบ เป็นสีดำ 3 ใบ สีขาว 2 ใบ ต่อจากนั้นก็ปิดตาชายทั้งสามคน แล้วใส่หมวก(5 ใบที่ให้ดู)ให้ชายทั้งสามคนคนละใบ ส่วนอีก 2 ใบนำไปซ่อน เสร็จแล้วจึงเปิดตาชายทั้งสามออก คำถามก็คือให้ใครก็ได้บอกว่าตนเองใส่หมวกสีอะไร ถ้าตอบถูกก็จะปล่อยตัวไปแต่ถ้าผิดก็จะถูกต้มกินทั้งหมด
  
  เมื่อเวลาผ่านไป ชายคนหน้าสุด(คนที่ไม่เห็นใครเลย)ตอบถูกว่าเขาใส่หมวกสีอะไร
  
  \bigskip
  {\bf ถามว่า} ชายคนหน้าสุดใส่หมวกสีอะไร และทำไมจึงตอบได้

  สมมุติว่าชายทั้งสามคนฉลาดและต้องการกลับบ้าน  

\end{enumerate}
\end{document}

























* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ