ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

TUGMOs3 รอบที่ 1



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent ข้อสอบ TUGMOs ครั้งที่ 3 รอบที่ 1\\
\noindent สอบวันที่ 9 มกราคม 2549

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 21 มกราคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \  สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip
\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้สัญญา \href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/}{Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% instruction page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\setcounter{page}{1}

\noindent
\begin{tabular}{l l} 
\multirow{4}{*}{\includegraphics[width=3.2cm]{tugmos.png}} & \small{ข้อสอบแข่งขันในโครงการสรรหานักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์} \\
 & \small{โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา	ประจำปีการศึกษา 2548} \\ 
 & \small{วิชา คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น รอบที่ 1} \\ 
 & \small{สอบวันจันทร์ที่ 9 มกราคม 2549  เวลา  08.20-11.20 น.} \\
 & \\
 \hline 
\end{tabular} 

\bigskip

\bigskip

\begin{center}
\framebox{
  \parbox{16cm}{

    \noindent \textbf{คำชี้แจง}

    \begin{enumerate} 
      \item แบบทดสอบฉบับนี้มี 4 ตอน ให้ผู้เข้าแข่งขันนำกลับไปได้
      \item จากข้อ 1 จึงสามารถ ทด ลงในกระดาษข้อสอบได้ 
      \item การตอบข้อสอบให้ตอบลงในกระดาษคำตอบโดยใช้ปากกาสีน้ำเงินหรือดำเขียนตอบ และเขียนชื่อ นามสกุล ชื่อทีมและเลขประจำตัวสอบในกระดาษคำตอบทุกหน้า ตามที่เว้นไว้ 
      \item การตอบนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด ให้ตอบอยู่ในรูปอย่างง่าย
      \item ไม่อนุญาตให้ออกจากห้องสอบก่อนเวลาผ่านไป 1 ชั่วโมง
      \item เมื่อหมดเวลาสอบหรือเมื่อจะส่งกระดาษคำตอบให้หงายด้านหลังของกระดาษคำตอบขึ้นแล้ววางทิ้งไว้บนโต๊ะ แล้วจึงออกจากห้องสอบ 
      \item หากมีข้อสงสัยให้ยกมือขึ้นเหนือศีรษะเพื่อสอบถามจากกรรมการคุมสอบ 
      \item คำตัดสินของคณะกรรมการจัดสอบถือเป็นข้อยุติ 
      \item ไม่อนุญาตให้เปิดข้อสอบก่อนได้รับอนุญาตจากกรรมการคุมสอบ 
      \item ห้ามทุจริตในการสอบและไม่อนุญาตให้ใช้เครื่องคำนวณ 
      \item ข้อสอบนี้เป็นทรัพย์สินทางปัญญาของคณะกรรมการออกข้อสอบ  ห้ามคัดลอกส่วนใดส่วนหนึ่งของข้อสอบเว้นแต่ได้รับอนุญาตจากคณะกรรมการ 
    \end{enumerate}
    
    \noindent \textbf{ความรู้ที่อาจเป็นประโยชน์}

    \begin{enumerate} 
      \item วงกลมเกิดจากจุดทุกๆจุดที่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากับรัศมี บนระนาบ 2 มิติ
      \item ระยะห่างระหว่างจุด \(P(a,b)\) กับ \(Q(c,d)\) คือ \(\sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}\)
      \item \(\pi \neq \frac{22}{7}\); \(\pi \neq 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097\) \(494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460\)
    \end{enumerate}
  }
}
\end{center}

% problems
\newpage

{\bf ตอนที่ 1} แบบเลือกตอบ 4 ข้อ โดยกากบาทลงในกระดาษคำตอบ คะแนนรวม 16 คะแนน

\begin{enumerate} 
  \item {\bf [3 คะแนน]} จงหาจำนวนตัวประกอบทั้งหมดของจำนวนตัวประกอบของ 123,456,787,654,321 
  
  \begin{tabular}{ p{2.2cm} p{2.2cm} p{2.2cm} p{2.2cm} l} 
   1) 5 & 2) 10 & 3) 20 & 4) 81 & 5) 162 \\  
  \end{tabular}
  
  \item {\bf [4 คะแนน]} วงกลม \(O\) มี \(AB\) เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง \(C\) เป็นจุดบนวงกลมที่ทำให้ \(A \hat O C\) เป็นมุมป้าน เส้นสัมผัสวงกลมที่ผ่านจุด \(C\) พบ \(AB\) ที่ \(D\) และพบเส้นสัมผัสวงกลม \(O\) ที่จุด \(A\) ที่ \(E\) ถ้า \(|OE| \cdot |BC| = 8\) และ \(\frac{|CD|}{|AE|} = \frac{2\sqrt{3}-3}{3}\)

  จงหาค่าของ \(BD\)
   
  \begin{tabular}{ p{2.2cm} p{2.2cm} p{2.2cm} p{2.2cm} l} 
    1) 2 & 2) \(\frac{4}{3+2\sqrt{3}}\) & 3) \(\frac{2}{2\sqrt{3}+3}\) & 4) 4 & 5) ไม่มีข้อใดถูก \\  
  \end{tabular}
  
  \item {\bf [5 คะแนน]} พิจารณาลำดับของจำนวนเต็มบวก  1 , 1 , 3 , 2 , 2 , 2 , 4 , 3 , 3 , 3 , 5 , 3 , 4 , 4, 6 , 4 , 5 , 4 , \ldots
   
  จงหาผลบวก 2005 พจน์แรก
  
  \begin{tabular}{ p{2.2cm} p{2.2cm} p{2.2cm} p{2.2cm} l} 
   1) 253,006 & 2) 282,376 & 3) 282,413 & 4) 282,916 & 5) ไม่มีข้อใดถูก \\  
  \end{tabular}
  
  \item {\bf [4 คะแนน]} ข้อใดไม่ถูกต้อง เมื่อข้อมูลทางวิทยาศาสตร์ที่ให้(นอกหลักสูตร) ถูกต้อง

  \begin{enumerate}

    \item เอสเทอร์ (Ester) เป็นสารประกอบคาร์บอนชนิดหนึ่งมีสูตรทั่วไปคือ 
    
    \begin{center}
      \includegraphics[height=2cm]{tug3-1-1-4-1.png}
    \end{center}
    
    เกิดจากการทำปฏิกิริยาเอสเทอริฟิเคชัน (Esterification)  ระหว่างแอลกอฮอล์ (Alcohol) และกรดคาร์บอกซิลิก (Carboxylic acid) โดยมีกรดเป็นตัวเร่งปฏิกิริยา ดังสมการ

    \begin{center}
      \includegraphics[height=1.5cm]{tug3-1-1-4-2.png}
    \end{center}

    ไขมันหรือน้ำมัน เป็นสารเอสเทอร์ประเภทหนึ่ง เกิดจากกรดไขมัน ไปทำปฏิกิริยากับกลีเซอรอล (ไตรไฮดรอกซีโพรเพน; Trihydroxypropane) โดยกลีเซอรอล 1 โมเลกุลสามารถทำปฏิกิริยากับกรดไขมันได้ 1-3 โมเลกุล ดังสมการ

    \begin{center}
      \includegraphics[height=2.5cm]{tug3-1-1-4-3.png}
    \end{center}
    
    ดังนั้น ถ้ามีกรดไขมัน 4 ชนิด คือ กรดสเตียริก 2 โมเลกุล, กรดปาล์มิติก 2 โมเลกุล,   กรดไมริสติก 1 โมเลกุล, กรดไลโนเลนิก 1 โมเลกุล สามารถทำปฏิกิริยากับ ไตรไฮดรอกซี โพรเพน 1 โมเลกุลเกิดไขมันหรือน้ำมันที่แตกต่างกัน 10 แบบ

    \item ตารางธาตุในปัจจุบันจัดเรียงธาตุตามเลขอะตอมจากน้อยไปหามาก มี 7 คาบ (Period) โดยยึดตามกฎพีริออดิก (Periodic law) ของดมิทรี อิวาโนวิช เมนเดเลเยฟ (Dmitri Ivanovic Mendeleev) ซึ่งกล่าวว่าธาตุแต่ละชนิดจะมีสมบัติสอดคล้องกันตามหมู่ โดยนักวิทยาศาสตร์จัดธาตุเป็น 2 กลุ่มใหญ่ คือ ธาตุกลุ่ม A และ กลุ่ม B โดยธาตุกลุ่ม A แบ่งเป่น 8 หมู่ และธาตุกลุ่ม B แบ่งเป็น 2 กลุ่มย่อย ได้แก่ ธาตุแทรนซิชัน (Transition) และ ธาตุอินเนอร์แทรนซิชัน (Inner Transition)
    
    \bigskip
    ทองคำ เป็นธาตุหนึ่งในตารางธาตุ มีเลขอะตอม 79 มวลอะตอม 196.96552  CAS Registry ID 7440-57-5 อยู่ในหมู่ 1B คาบที่ 6 เป็นโลหะ มีสถานะเป็นของแข็งที่อุณหภูมิห้อง พบมากในรูปสารประกอบออริกคลอไรด์ (AuCl3; Gold (III) Chloride) และกรดคลอรอริก (HAuCl4)  ทองคำมีจุดเดือดที่ 2856 \(^{\circ}C\) จุดหลอมเหลว 1064.18 \(^{\circ}C\) ความหนาแน่น 19300 กิโลกรัมต่อลูกบาศก์เมตร สัมประสิทธิ์ความต้านทาน \(2.2 \cdot 10^{-8} \Omega m\) ดังนั้น ทองคำ 1.93 บาท มีปริมาตร 0.1 ลูกบาศก์เซนติเมตร
    
    \item ในการพิจารณาค่าความต้านทานไฟฟ้าของตัวนำไฟฟ้าพบว่า ความต้านทานไฟฟ้าแปรผัน ตามความยาวของตัวนำ และแปรผันแบบผกผันกับพื้นที่หน้าตัด ถ้าลวดทองคำยาว 10 เมตร พื้นที่หน้าตัด 0.001 ตารางมิลลิเมตร จะมีความต้านทาน 220 \(\Omega\) จะได้ว่าลวดทองคำยาว \(L\) เมตร พื้นที่หน้าตัด \(A\) ตารางเมตร ความต้านทาน \(R\) โอห์ม จะมีค่าสัมประสิทธิ์ความต้านทาน (\(\frac{RA}{L}\)) เท่ากับ \(2.2 \cdot 10^{-8} \Omega m\)
    
    \item สาร A ประกอบด้วยโปรตีน 4.45\% คาร์โบไฮเดรต 61\% ไขมัน 15.3\% วิตามิน 8.05\% เกลือแร่ 6.1\% ที่เหลือเป็นน้ำ ดังนั้นเมื่อร่างกายสลายสาร A จะให้พลังงาน 399.5 กิโลแคลอรี ถ้ากำหนดให้ โปรตีนและคาร์โบไฮเดรตให้พลังงาน 4 กิโลแคลอรีต่อกรัม ไขมันให้พลังงาน 9 กิโลแคลอรีต่อกรัม
    
  \end{enumerate}
  
  \begin{tabular}{ p{1.9cm} p{1.9cm} p{1.9cm} p{1.9cm} l} 
   1) ข้อ (a) & 2) ข้อ (b) & 3) ข้อ (c) & 4) ข้อ (d) & 5) มีข้อที่ไม่ถูกต้องมากกว่า 1 ข้อ  \\  
  \end{tabular}
  
\end{enumerate}

\newpage

{\bf ตอนที่ 2} แบบเติมคำตอบ 8 ข้อ คะแนนรวม 27 คะแนน

\begin{enumerate}
  \item {\bf [3 คะแนน]} การที่จะพิจารณาว่าสมการกำลังสองมีคำตอบหรือไม่นั้น พิจารณาจากสิ่งใด จงอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งนั้นกับจำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันของสมการกำลังสอง 
  
  \item {\bf [3 คะแนน]} แพนโตกราฟ (Pantograph) คืออะไร
  
  \item {\bf [3 คะแนน]} จงให้ความหมายของคำว่า ``อนิยาม'' และ ``ทฤษฎีบท''
   
  \item {\bf [1 คะแนน]} ให้ \(a\) เป็นความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุดตัดทั้งสองของ \(2x + y + 142536 = 0\) และ \(x^2+y^2+67x+71y+101=\sqrt[3]{152634^9}\) จงหา \(a\)
  
  \item {\bf [5 คะแนน]} จากข้อ 4 ให้ \(b\) เป็นผลบวกค่า \(x\) ที่เป็นคำตอบที่เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันของระบบสมการ \(x - y = 4\) และ \(\frac{34}{x^2 (y+2) - 5y -14} - \frac{10}{xy+3} - \frac{2}{y+6} = 1\) และ \(c\) เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ \(x + c\) ผ่านจุด \((a ,b)\) จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่าน \((a ,c)\) และมีความชัน \(b\) (ตอบในรูป \(Ax + By + C = 0\) เมื่อ \(A > 0\) และ หรม.\((A,B,C) = 1)\)
   
  \item {\bf [4 คะแนน]} กำหนดวงกลม 1 วงบนระนาบ วาดสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉากแนบในวงกลมดังกล่าว แล้ววาดวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางคือด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉากนั้น แล้ววาดสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉากแนบในวงกลมที่สอง ทำเช่นนี้เรื่อยไป จงหาพื้นที่สามเหลี่ยมรูปที่เกิดจากการกระทำดังกล่าวครั้งที่ 5 เมื่อสามเหลี่ยมรูปที่ใหญ่ที่สุดมีพื้นที่ \(A\) ตารางหน่วย
  
  \item {\bf [5 คะแนน]} จากข้อ 6 จงหาความยาวเส้นรอบวงของวงกลมทั้งหมดในรูปที่เกิดจากการกระทำดังกล่าว 5 ครั้งทั้งหมด เมื่อรัศมีวงกลมใหญ่ที่สุดเท่ากับ \(r\) เมตร 
  
  \item {\bf [3 คะแนน]} จากข้อ 6 จงวาดรูปที่เกิดจากการกระทำดังกล่าว 3 ครั้ง 
\end{enumerate}

\newpage

{\bf ตอนที่ 3} แบบเติมคำตอบ 10 ข้อ คะแนนรวม 46 คะแนน

\begin{enumerate}
  \item {\bf [4 คะแนน]} ให้ \(a\) เป็นจำนวนตัวประกอบทั้งหมดของ 123, \(b\) เป็นจำนวนตัวประกอบที่เป็นบวกของ 456 , \(c\) เป็นจำนวนตัวประกอบที่เป็นลบของ 789, \(d\) = หรม.\((a+b, b+c)\),  \(e\) = หรม.\((b+c, c+a)\), \(f\) = หรม.\((c+a, a+b)\)
  
  จงหาความน่าจะเป็นที่จะเลือกตัวเลขตั้งแต่ 10 ถึง 24 แล้วได้ตัวเลขที่หรม.ของตัวเลขที่ได้ กับ \(a + b + c + d + e + f\) เท่ากับ 2 (ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ)
  
  \item {\bf [4 คะแนน]} พาราโบลา \(Ax^2 + Bx + C + Dy = 0\) มีจุดต่ำสุดอยู่ที่จุดตัดของ \(4x -3y -18 = 0\) และ \(3x + 4y -1 = 0\) และผ่านจุดตัดแกน \(x\) ทางบวกของ 
  \[\sqrt{(x-1)^2+(x-2)^2+3(x-3)+4(x-4)+17}+y=0\]
  
  ถ้า หรม.ของ \(A, B, C, D\) เท่ากับ 2 แล้ว จงหาค่าของ \(\frac{A-C}{D}-B\)
  
  \item {\bf [4 คะแนน]} ข้อความต่อไปนี้ถูกกี่ข้อและข้อใดถูกต้องบ้าง
    \begin{enumerate}
      \item จํานวนคําตอบทั้งหมดของระบบสมการ 
      
      \[\begin{array}{*{20}c}
         {\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} - \sqrt[3]{z} = 9}  \\
         {\sqrt[6]{x} - \sqrt[6]{y} - \sqrt[6]{z} = 3}  \\
      \end{array}\]
      
      มีค่าน้อยกว่า \(\frac{2\pi}{5}\)
      
      \item ถ้าเส้นตรงผ่านจุด \((3,x)\) และ \((2x+1,1)\) มีความชันเท่ากับ 2 แล้วระยะระหว่างจุด \((7,4)\) และ \((x,3)\) มีค่ามากกว่า \(\frac{2433}{400}\)
        
      \item จากความรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับมาตราไทยโบราณที่เคยได้ยินหรือได้อ่านจากวรรณกรรมต่างๆ จะได้ว่า 7 เมล็ดข้าว มีค่าเท่ากับผลต่างของ 1 นิ้ว กับ 32,768 ปรมาณู
    \end{enumerate}
  
  \item {\bf [4 คะแนน]} จงหาค่าของ \(\frac{x(z+w)}{y}\) เมื่อ \(y=\sqrt{4-x}+\sqrt{x+4}\), \(z=|\sqrt{|y-4|+y}-y|\) และ \((z-w)^2+\left( \frac{2}{z}+\frac{3}{w}-5 \right) ^4=0\)
  
  \item {\bf [4 คะแนน]} สามเหลี่ยมหน้าจั่ว \(ABC\) มี \(AB=AC\) และมุม \(B \hat A C = 33.4 ^{\circ} \) สมมติ จุด \(X, Y, Z\) เป็นจุดบนด้าน \(AB\), \(BC\), \(CA\) ที่ \(BX = YC\) และ \(BY\) = \(CZ\) และวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม \(BXY\) และ \(CYZ\) ตัดกันที่จุด P จงหา \(B \hat P C\)

  \item {\bf [5 คะแนน]} ให้
  \[\frac{A}{(x+7)^2} + \frac{B}{(x+7)} + \frac{C}{(x-19)^2} + \frac{D}{(x-19)} + \frac{133E}{(133x+1)} = \frac{7x^4+89x^3-67x^2+367x-266}{(133x+1)(x^2-12x-133)^2}\]
  
  สำหรับทุก \(x\) โดยที่ \(x \neq -7, 19, -\frac{1}{133}\)
  
  จงหาค่าของ \(\frac{A}{49} + \frac{C}{361} - \frac{26D}{133} + \frac{930E}{7}\)
  
  \item {\bf [5 คะแนน]} ให้ \(O\) เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม \(ABC\), \(D\) เป็นจุดที่อยู่ตรงข้ามกับ \(C\) และ \(DOC\) อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันที่ทําให้ \(DC = 3AO\) และ \(AD\) เป็นเส้นสัมผัสวงกลม \(O\)
  
  ต่อ \(CB\) ไปถึงจุด \(E\) โดย \(CB = BE\) และต่อ \(ED\) พบ \(CA\) ที่จุด \(F\) ถ้า \(AB\) ตั้งฉากกับ \(CD\) ที่ \(G\) จงหาอัตราส่วนของพื้นที่วงกลมล้อมรอบ \(DFG\) ต่อพื้นที่วงกลมล้อมรอบ \(ACD\)
  
  \item {\bf [6 คะแนน]} วงกลม \(O\) มี \(AB\) เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 2 หน่วย \(C\) เป็นจุดบนวงกลมที่ทําให้ \(ABC\) เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว, \(CD\) แบ่งครึ่ง \(AO\) ที่ \(E\) และพบวงกลมที่ \(F\), \(FO\) พบวงกลมที่ \(G\), \(BH\) แบ่งครึ่ง \(CO\) ที่ \(H\) และพบ \(FG\), \(AC\) และวงกลม \(O\) ที่ \(I\), \(J\), \(K\) ตามลําดับ
  
  กะพงเริ่มเดินจาก \(O\) ผ่านส่วนของเส้นตรง \(OA\), \(AJ\), \(JI\), \(IO\) จงหาว่า กะพงเดินได้ระยะทางทั้งหมดเท่าไร
  
  \item {\bf [6 คะแนน]} ให้ x เป็นจํานวนตรรกยะที่เป็นคําตอบของระบบสมการ
  \[A-B = -3(2x-1)\]
  \[A+2B = 3x^2+6\]
  \[\left( \sqrt[3]{A^2} - \sqrt[3]{B^2} \right) \left( \sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B} - \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{A}} + \sqrt[3]{\frac{1}{B}}} \right) \left( \sqrt{\frac{A}{B}} + \sqrt{\frac{B}{A}} - 1 \right) = \frac{24x^2-6x-3}{x^2-x-2}\]
  
  จงหาค่าของ \(2x + 3A\) ทั้งหมดที่เป็นไปได้
  
  \item {\bf [4 คะแนน]} จงแบ่งรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่กําหนดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6, 7, 8 รูปที่ไม่มีส่วนที่ซ้อนกันและไม่มีช่องว่างเหลือ
\end{enumerate}

\newpage

{\bf ตอนที่ 4} แบบแสดงวิธีคิด 1 ข้อ คะแนน 11 คะแนน

\bigskip
ก่อนการแข่งขัน TUGMOs ครั้งที่ 3 คณะผู้จัดการแข่งขันได้ทำเฉลยคำตอบรอบที่ 1 ตอนที่ 1 หายไป เนื่องจากมีผู้ทราบคำตอบเพียงคนเดียว คือ ผู้แต่งโจทย์เท่านั้น ซึ่งในวันแข่งขันก็ได้ หายตัวไปเช่นเดียวกัน แต่ผู้แต่งโจทย์ก็ได้ฝากข้อความไว้กับคณะกรรมการจัดการแข่งขัน ได้แก่

`` ในการแข่งขัน 
TUGMOs (Triamudom \underline{5+8+10946+13+55+21} \underline{34+10946+1+377} \& \underline{21+610+55+5+610+1+10946+6765+10946+17711+987} \\ \underline{6765+10946+610+8+5+17711+10946+6765} Searching) ขอให้กรรมการคุมสอบเตือนผู้เข้าสอบให้ตั้งอยู่ในความไม่ประมาท โดยกรอกข้อมูลลงในกระดาษคำตอบทั้ง 2 แผ่นให้ครบถ้วนและชัดเจน และ ใช้ปากกาสีน้ำเงินหรือดำเท่านั้นในการตอบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการไม่ทุจริตในการสอบ โดยการปฏิบัติตามหลักธรรมทางพระพุทธศาสนาเรื่อง กุศลกรรมบถ 10 ซึ่งแบ่งได้เป็น 3 ข้อใหญ่ๆ คือ กายสุจริต 3 ได้แก่ ไม่ฆ่าสัตว์ ไม่ลักทรัพย์ที่เจ้าของไม่ให้ ไม่ประพฤติผิดในกาม, วจีสุจริต 4 ได้แก่ ไม่พูดปด ไม่พูดคำหยาบ ไม่พูดเพ้อเจ้อ ไม่พูดส่อเสียด, มโนสุจริต 3 ได้แก่ ไม่โลภ ไม่พยาบาท ไม่มีมิจฉาทิฏฐิ รวมทั้งการพอใจในสิ่งที่ตนมีตนได้ กล่าวคือ แม้ผู้สอบจะทำข้อสอบได้มากน้อยเพียงใด ก็จงพอใจว่าเราทำได้ด้วยความสามารถของตนเอง เพราะมีแต่ตัวผู้สอบเท่านั้นที่ช่วยผู้สอบได้ สมดังพุทธศาสนสุภาษิตที่ว่า `อตฺตาหิ อตฺตโน นาโถ' ซึ่งหมายความว่า `ตนแลเป็นที่พึ่งแห่งตน' ''

\bigskip
แต่เนื่องจากผู้แต่งโจทย์ทราบว่า ตนเป็นผู้ที่ทราบคำตอบของข้อสอบแข่งขันในโครงการสรรหานักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษาประจำปี 2548 วิชาคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น รอบที่ 1 ตอนที่ 1 เพียงผู้เดียว จึงได้ส่งคำใบ้เพื่อหาคำตอบดังกล่าวมาเป็นรหัสว่า \underline{55+3+3+1+610+987+2+55+13}

\bigskip
จงหา ว่าความหมายของ \underline{55+3+3+1+610+987+2+55+13} ที่ผู้แต่งโจทย์ส่งมาคืออะไร
\end{document}


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ