ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

TUGMOs3 รอบที่ 2



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref} 

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent ข้อสอบ TUGMOs ครั้งที่ 3 รอบที่ 2\\
\noindent สอบวันที่ 9 มกราคม 2549

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 21 มกราคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \  สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip
\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้สัญญา \href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/}{Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% instruction page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\setcounter{page}{1}

\noindent
\begin{tabular}{l l} 
\multirow{4}{*}{\includegraphics[width=3.2cm]{tugmos.png}} & \small{ข้อสอบแข่งขันในโครงการสรรหานักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์} \\
 & \small{โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา	ประจำปีการศึกษา 2548} \\ 
 & \small{วิชา คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น รอบที่ 2} \\ 
 & \small{สอบวันจันทร์ที่ 9 มกราคม 2549  เวลา  12.45-13.45 น.} \\
 & \\
 \hline 
\end{tabular} 

\bigskip

\bigskip

\begin{center}
\framebox{
  \parbox{16cm}{

    \noindent \textbf{คำชี้แจง}

    \begin{enumerate} 
      \item แบบทดสอบฉบับนี้มี 20 ข้อ
      \item ใช้เวลาสอบ 1 ชั่วโมง ห้ามเปิดข้อสอบก่อนได้รับอนุญาต
      \item การส่งระหว่างการแข่งขันให้แยกส่งเป็นข้อๆ โดยกรอกข้อมูลลงในกระดาษคำตอบให้ครบถ้วนชัดเจนและจัดคำตอบให้อยู่ในรูปอย่างง่ายโดยใช้ปากกาสีน้ำเงินหรือสีดำเท่านั้น
      \item อนุญาตให้ปรึกษาภายในทีมเดียวกันได้ โดยไม่ส่งเสียงรบกวนผู้อื่น
      \item หากมีข้อสงสัยประการใดให้ยกมือขึ้นเหนือศีรษะเพื่อถามกรรมการคุมสอบ
      \item ห้ามทุจริตในการสอบ และไม่อนุญาตให้ใช้เครื่องคำนวณ
      \item คำตัดสินของคณะกรรมการถือเป็นข้อยุติ
      \item ในแต่ละข้อ ทีมที่ตอบถูกเป็นทีมแรกจะได้ 50 คะแนน ทีมต่อๆไปที่ตอบถูกจะได้ 45, 44, 43,\ldots คะแนน ตามลำดับ
      \item ในช่วง 5 นาทีแรก ทีมที่ตอบถูกจะได้คะแนนในข้อนั้นเพิ่ม 5 คะแนน แต่จะถูกหักครั้งละ 13 คะแนน หากตอบผิด
      \item ในช่วง 5 นาทีสุดท้าย จะไม่รับการส่งคำตอบจนกว่าเวลาจะหมด กล่าวคือ เมื่อหมดเวลาแต่ละทีมสามารถส่งคำตอบสุดท้ายของแต่ละข้อได้ในกระดาษคำตอบที่แจกให้ (ที่มี 20 ข้อ) โดยไม่จำเป็นต้องตอบทุกข้อ
      \item ก่อน 5 นาทีสุดท้ายแรกสำหรับแต่ละข้อ การตอบผิดครั้งที่ 1, 2 และครั้งที่สาม จะประกาศแจ้งให้ทราบ และหักคะแนนข้อนั้น 5 คะแนน(ยกเว้นภายใน 5 นาทีแรกจะหัก 13 คะแนน) และจะไม่อนุญาตให้ส่งข้อนั้นในอีกภายใน 10\% ของเวลาที่เหลือทั้งหมด (จะประกาศให้ทราบว่าสามารถส่งข้อนั้นใหม่ได้เมื่อใด และหากส่งมาอีกภายในเวลา 10\% นั้นจะหักคะแนนข้อนั้นอีก 10 คะแนนไม่ว่าถูกหรือผิด) การตอบผิดครั้งต่อๆไป จะประกาศแจ้งให้ทราบและเชิญผู้เข้าแข่งขันในทีมออกจากการแข่งขันครั้งละ 1 คนโดยไม่มีการกลับเข้ามาใหม่
      \item คะแนนในแต่ละข้อยึดตามการส่งครั้งสุดท้าย ยกเว้นการหักคะแนนจะมีผลสะสม
    \end{enumerate}
  }
}
\end{center}

% problems
\newpage

\begin{enumerate} 
  \item สามเหลี่ยมมุมฉาก \(ABC\) มี \(B\) เป็นมุมฉาก วงกลมแนบในสามเหลี่ยม \(ABC\) จุดศูนย์กลางที่จุด \(O\) สัมผัสด้าน \(AB\), \(BC\), \(CA\) ที่จุด \(D\), \(E\), \(F\) ตามลำดับ  \(DE\), \(EF\), \(FD\) ตัดเส้นแบ่งครึ่งมุม \(B\), \(C\), \(A\) ที่จุด \(G\), \(H\), \(I\) ตามลำดับ ถ้า  \(m(A\hat HC) = 140^\circ\) จงหาขนาดของ  \(G\hat IO\)
  
  \item วงกลม \(O\) มี \(AB\) เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางยาว \(2r\) หน่วย คอร์ด \(CD\) แบ่งครึ่ง \(AO\) ที่ \(E\), จุด \(F\) เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้งน้อย \(BC\), \(DF\) ตัด \(AB\) ที่ \(G\) และแบ่งครึ่งคอร์ด \(BC\) ที่ \(H\) จงหาพื้นที่รูปเหลี่ยมที่มีจุด \(C\), \(E\), \(G\), \(O\), \(H\) เป็นจุดมุม
  
  \item สามเหลี่ยม \(ABC\) มีเส้นรอบรูป 360 หน่วย มีพื้นที่ 2100 ตารางหน่วย เส้นส่วนสูงจาก \(A\), \(B\), \(C\) พบ \(BC\), \(CA\), \(AB\) ที่ \(D\), \(E\), \(F\) ตามลำดับ และเส้นส่วนสูงทั้งสามพบกันที่ \(H\)
  
  ถ้า \(CF\) ยาว  \(\left( {\sqrt { - x^2 }  + \sqrt {(x - 3)(x - 7) + 3} } \right)^2\) หน่วย จงหาค่าของ  \(\left| {HA} \right| \cdot \left| {HD} \right|\), \(\left| {HB} \right| \cdot \left| {HE} \right|\) และ \(\left| {HC} \right| \cdot \left| {HF} \right|\)
  
  \item สามเหลี่ยม \(ABC\) มี \(AD\) เป็นเส้นส่วนสูงที่ตัด \(BC\) ที่ \(D\), ส่วนสูง \(DE\) ของสามเหลี่ยม \(ADC\) พบ \(CA\) ที่ \(E\), จุด \(F\) เป็นจุดบน \(DE\) ที่ทำให้ \(AF\) ตั้งฉากกับ \(BE\)
  
  ถ้า \(AB = 39\), \(AE = 9\), \(EC = 16\) จงหา \(FE : FD\)
  
  \item วงกลมจุดศูนย์กลางที่ \(O\) มี \(BA\) เป็นเส้นสัมผัสที่จุด \(A\), จุด \(C\) เป็นจุดบนวงกลมที่ทำให้ \(AC\) เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม, \(D\) เป็นจุดที่อยู่ตรงข้ามกับ \(B\) ที่ทำให้เส้นเชื่อมจุดรวมเส้นแบ่งครึ่งด้านของสามเหลี่ยม \(ABC\) และสามเหลี่ยม \(ABD\) ขนานกับ \(AB\) และยาวเป็นหนึ่งในสามของ \(AB\), \(DA\) ตัดวงกลม \(O\) ที่ \(A\) และ \(E\) โดยที่ \(OE\) ขนานกับ \(AB\), \(BE\) ตัด \(OA\) ที่ \(F\), \(DF\) พบ \(AB\) ที่ \(G\) อัตราส่วนของพื้นที่วงกลม \(O\) ต่อพื้นที่สี่เหลี่ยม \(BCDG\) เป็นเท่าไร
  
  \item จงหาชุดคำตอบ \((x, y, z)\) ทั้งหมดที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้  \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\) เป็นจำนวนเต็ม
  
  \item จงหาจำนวนของจำนวนเต็มบวกซึ่งมีค่าน้อยกว่า 934 ที่เมื่อลบตัวเลขในหลักหน่วยออกแล้ว จำนวนที่เกิดขึ้นใหม่หารจำนวนเดิมลงตัว
  
  \item กำหนดให้ \(m\) หาร 4672 และ 9974 เหลือเศษ \(n\) และ \(2n\) ตามลำดับ ถ้า \(m\) เป็นจำนวนเต็มบวกและ \(n\) เป็นจำนวนเฉพาะ จงหาชุดคำตอบ \((m,n)\) ทั้งหมดที่เป็นไปได้
  
  \item ให้ \(a\), \(b\), \(c\) เป็นจำนวนเต็มบวกที่อยู่ในรูป  \(2^d  \cdot 3^e  \cdot 5^f\) โดย  \(d\), \(e\), \(f\)เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้   หรม.\((a,b) = 150\)   หรม.\((b,c) = 30\)   หรม.\((c,a) = 120\) และ  \(c < a < b < 2005\)  
  
  จงหาจำนวนชุดคำตอบ \((a,b,c)\) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 
  
  \item ให้ \(x\) เป็นรากของสมการ \(\sqrt {1 - x}  - \sqrt x  = 1\), \(y\) เป็นรากของสมการ  \(\sqrt {1 - y}  + \sqrt y  = 1\) โดยที่ \(y \ne x \) และ \(z = x^y  + y^x\) แล้ว จงหาจำนวนพหุนามดีกรีไม่เกิน 5 ที่มีรากของพหุนามคือ \(xy\), \(yz\), \(zx\) เท่านั้นและ หรม. ของสัมประสิทธิ์ทุกพจน์ของพหุนามเท่ากับ 9012549
  
  \item จากข้อความต่อไปนี้เมื่อนำเลขโดดหน้าข้อที่ถูกต้องมาจัดเรียงใหม่โดยไม่ใช้เลขซ้ำกันเลยและมีค่าน้อยกว่า 50,000 ได้กี่จำนวน
  
  \renewcommand{\labelenumii}{(\arabic{enumii})}
  
  \begin{enumerate}
    \setcounter{enumii}{-1}
    \item ในการหาหมวดของนักศึกษาวิชาทหารเพื่อเป็นตัวแทนในการสอบภาคปฏิบัติของศูนย์ฝึก ส.พัน 1 รอ. ได้ให้หัวหน้าหมวดมายืนเรียงแถวแล้วนับเลข 1, 2, 3,\ldots โดยจัดเป็นแถวหน้ากระดานเรียงหนึ่งปิดระยะ โดยหัวหน้าหมวดที่ 1 ยืนอยู่ด้านซ้ายของหมวดที่ 3 ซึ่งยืนอยู่ติดกับหมวดที่ 2 และหมวดที่ 5 ซึ่งยืนอยู่ติดกับหัวหน้าหมวดที่ 1 และยืนอยู่ด้านขวาของหัวหน้าหมวดที่ 6 ซึ่งยืนอยู่ริมสุด และนอกจากนั้นหัวหน้าหมวดที่ 4 ยืนอยู่ด้านริมสุดอีกด้านหนึ่ง เมื่อให้หัวหน้าหมวดที่ยืนอยู่ขวาสุดนับก่อน โดยนับไปกลับไปเรื่อยๆ โดยคนริมสุดนับเพียง 1 ครั้งใน 1 รอบ ส่วนคนกลางนับ 2 ครั้งใน 1 รอบ และเมื่อนับถึงตัวเลขที่ต้องการแล้วหมวดของคนที่นับเลขนั้นจะถูกคัดออก แล้วคนที่เหลืออยู่เริ่มนับ 1 ใหม่ เป็นเช่นนี้เรื่อยไป ถ้าตัวเลขที่ต้องการในครั้งที่ 1 และ 2 คือ  \(\underbrace {777...77}_{2549\mathop {}\limits_{} 7s}\) และ 2549 ตามลำดับ หมวดที่ถูกคัดออกคือหมวดที่ 1 และหมวดที่ 5
    
    \item การพิสูจน์เรขาคณิตที่ว่า ให้ \(P\), \(Q\) เป็นจุดบนด้าน \(AB\), \(R\) เป็นจุดบนด้าน \(BC\) และ \(S\) เป็นจุดบนด้าน \(CA\) ของรูปสามเหลี่ยม \(ABC\) โดยที่  \(\frac{{AQ}}{{QB}} = \frac{{BP}}{{PA}} = \frac{{BR}}{{RC}} = \frac{{AS}}{{SC}} = 2\) แล้ว พื้นที่ห้าเหลี่ยม \(PQRCS\) เป็น  \(\frac{5}{9}\) เท่าของพื้นที่สามเหลี่ยม \(ABC\) มีวิธีหนึ่งสามารถใช้การเลื่อนรูปพิสูจน์ได้
    
    \item เมื่อเปรียบเทียบพื้นที่ผิวของทรงกลม, ทรงกระบอก, กรวยกลม, พีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส, และลูกบาศก์ ที่มีรัศมีของฐานเท่ากับความสูงเท่ากับความยาวด้านฐานเท่ากับรัศมีทรงกลม จะได้ว่า พื้นที่ผิวของลูกบาศก์น้อยกว่าพื้นที่ผิวของกรวย และพื้นที่ผิวทรงกระบอกมีค่ามากที่สุด
    
    \item เมื่อเปรียบเทียบปริมาตรของทรงกลม, ทรงกระบอก, กรวยกลม, พีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส, และลูกบาศก์ ที่มีรัศมีของฐานเท่ากับความสูงเท่ากับความยาวด้านฐานเท่ากับรัศมีทรงกลม จะได้ว่า ปริมาตรของลูกบาศก์น้อยกว่าปริมาตรของกรวย และปริมาตรทรงกระบอกมีค่ามากที่สุด
    
    \item เมื่อเปรียบเทียบอัตราส่วนระหว่างปริมาตรกับพื้นที่ผิวของทรงกลม, ทรงกระบอก, กรวยกลม, พีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส, และลูกบาศก์ ที่มีรัศมีของฐานเท่ากับความสูงเท่ากับความยาวด้านฐานเท่ากับรัศมีทรงกลม จะได้ว่า อัตราส่วนระหว่างปริมาตรกับพื้นที่ผิวของลูกบาศก์น้อยกว่าอัตราส่วนระหว่างปริมาตรกับพื้นที่ผิวของกรวย และอัตราส่วนระหว่างปริมาตรกับพื้นที่ผิวของทรงกระบอกมีค่ามากที่สุด
    
    \item จากการทดลองของบอยล์และชาร์ลส์เกี่ยวกับความสัมพันธ์ของความดัน,ปริมาตร,และอุณหภูมิเมื่อจำนวนอนุภาคของแก๊สเท่ากัน ได้ว่า ความดันแปรผันแบบผกผันกับปริมาตร และ ปริมาตรแปรผันโดยตรงกับอุณหภูมิ จะได้ว่า อุณหภูมิแปรผันแบบผกผันกับความดัน
    
    \item ให้  \(A_n  = 9^{9^{.^{.^{.^9}}}}\) มี 9 อยู่ \(n\) ตัว และ  \(S_n  = A_1  + A_2  + \ldots + A_n\) และ  \(G_n  = A_1 A_2 \ldots A_n\) จะได้ว่า \(\sqrt[{S_{n - 1}}]{G_n} = 9\)
    
    \item ให้ \(A_x  = \frac{e^x  - e^{ - x}}{2}\), \(B_x = \frac{e^x  + e^{ - x}}{2}\) เมื่อ \(x\) เป็นจำนวนจริง และ \(e\) เป็นค่าคงตัวซึ่งมีค่าประมาณ 2.718281828459045235360287471352662497757 แล้วจะได้ว่า  \(A_{x + y}  = A_x B_y  - A_y B_x\)
    
    \item โดยปกติ ผู้หญิงในช่วงวัยเจริญพันธุ์ จะสร้างเซลล์ไข่ได้ 1 เซลล์ต่อเดือน ถ้าผู้หญิงเริ่มมีประจำเดือนครั้งแรกเมื่ออายุ 12 ปี และหมดประจำเดือนเมื่ออายุ 50 ปี ผู้หญิงจะสร้างเซลล์ไข่ได้ 450 เซลล์
    
    \item ถ้า รายได้ประชาชาติคือ มูลค่ารวมของสินค้าและบริการขั้นสุดท้ายที่ประชาชาติผลิตขึ้นได้ใน 1 ปีโดยหักค่าเสื่อมราคาออก,ผลิตภัณฑ์ประชาชาติเบื้องต้นคือ มูลค่ารวมของสินค้าและบริการขั้นสุดท้ายที่ประชาชาติผลิตขึ้นในเวลา 1 ปี, ผลิตภัณฑ์ในประเทศเบื้องต้นคือ มูลค่ารวมของสินค้าและบริการขั้นสุดท้ายที่ผลิตขึ้นในประเทศในเวลา 1 ปี ดังนั้น เมื่อ ผลิตภัณฑ์ในประเทศเบื้องต้นเท่ากับ 1,000,000,000 บาท ค่าเสื่อมราคาเท่ากับ 25,000,000 บาท มูลค่าที่ชาวต่างชาติผลิตได้ในประเทศเท่ากับ 150,000,000 บาท มูลค่าที่ประชาชาติผลิตได้ในต่างประเทศเท่ากับ 30,000,000 บาท จะได้ว่า ผลิตภัณฑ์ประชาชาติเบื้องต้นเท่ากับ 855,000,000 บาท
  
  \end{enumerate}
  
  \renewcommand{\labelenumii}{\alph{enumii})}
  
  \item \begin{enumerate}
  
    \item กำหนด \{E, F, I, N, O, R, S, T, X, Y\} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} และ
    
    \begin{tabular}{l l l l l l}
      F & O & R & T & Y & \\
        &   & T & E & N & +\\
        &   & T & E & N & \\
      \hline
      S & I & X & T & Y & \\
      \hline\hline
    \end{tabular}
    
    จงหา FORTY, TEN, SIXTY ทั้งหมดที่เป็นไปได้
  
    \item กำหนด  \(0 \leq\) D, E, M, N, O, R, S, Y \(\leq 9\) โดยที่ D, E, M, N, O, R, S, Y แตกต่างกันทั้งหมด  และ
    
    \begin{tabular}{l l l l l l}
        & S & E & N & D & +\\
        & M & O & R & E & \\
      \hline
      M & O & N & E & Y & \\
      \hline\hline
    \end{tabular}

    จงหา DRESS, MONEY ทั้งหมดที่เป็นไปได้
  
  \end{enumerate}
  
  \item กำหนด  \(a \otimes b = ab + a + b\) จงหาจำนวนสุดท้ายที่เกิดจากการกระทำการ  \( \otimes\) 332 ครั้งของ  \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots, \frac{1}{334}\)
  
  \item จงหาค่าประมาณทศนิยม 2 ตำแหน่งของผลบวกของคำตอบที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของสมการ  \(\left| {\sqrt {x\left| {x - 2} \right| + 2} - 5} \right| = 4\)
  
  \newpage
  
  \item ให้ \((x, y, z)\) เป็นรากของสมการ  
  
  \[\left( {\frac{{\sqrt[4]{{x - y - z}} + \sqrt {x^5  + y^5  + z^5  - xy - yz - zx + xyz} }}{{\sqrt { - x(y + z)}  + \sqrt {y + z - x}  - \sqrt[3]{{x + xy + xyz}} + z}}} \right)^2  = y^2  - 5z + 2x + 1\]
  
  จงหาค่าของ \((x, y, z)\) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
  
  \item จงหาคำตอบ \((w, x, y, z)\) ของระบบสมการ
   
   \[\left\{ \begin{gathered}
    x + y = 10 \hfill \\
    xy - z^2  = 25 \hfill \\
    \sqrt[3]{{wx - 6}} - \sqrt[3]{{2y - 7w}} = \sqrt[3]{{6w + 20}} \hfill \\ 
  \end{gathered}  \right.\]
  
  \item พิจารณาระบบสมการ
  
  \[a + 3b + 8c + 15d + 24e + 35f + 48g = 934\]
  \[4a + 9b + 16c + 25d + 36e + 49f + 64g = 334\]
  \[9a + 17b + 26c + 37d + 50e + 65f + 82g = 326\]
  
  จงหาค่าของ \(17a + 24b + 25c + 24d + 21e + 16f + 9g\)     
  
  \item กาลครั้งหนึ่งนานมาแล้ว มีหมู่บ้านไม้มะค่า หมู่บ้านช่อมะกอก และหมู่บ้านก้านมะยมตั้งอยู่เรียงกันตามลำดับจากทิศเหนือไปใต้ โดยตั้งอยู่บนแม่น้ำสายหนึ่งโดยระยะทางตามแม่น้ำสายนี้จากหมู่บ้านไม้มะค่าไปยังหมู่บ้านช่อมะกอก และจากหมู่บ้านช่อมะกอกไปยังหมู่บ้านก้านมะยมเท่ากับ 4 และ 6 กิโลเมตรตามลำดับ อยู่มาวันหนึ่ง นาย ก. และนาย ข. ซึ่งอาศัยอยู่ในหมู่บ้านก้านมะยม ต้องขึ้นไปทำธุระที่หมู่บ้านไม้มะค่า จึงพายเรือขึ้นไปตามแม่น้ำสายดังกล่าว ซึ่งขณะนั้นมีกระแสน้ำไหลจากเหนือลงสู่ใต้ด้วยอัตราเร็ว 4 กิโลเมตรต่อชั่วโมง โดยในช่วงแรก นาย ก เป็นคนพายเรือจนไปถึงหมู่บ้านช่อมะกอก ทั้งคู่จึงแวะพักผ่อนและซื้อของเป็นเวลาครึ่งชั่วโมง ก่อนที่นาย ข จะเป็นคนพายเรือต่อไปถึงหมู่บ้านไม้มะค่า ใช้เวลารวมทั้งสิ้น 2 ชั่วโมง จากหมู่บ้านก้านมะยมไปยังหมู่บ้านไม้มะค่า ในปีถัดมา ทั้งสองคนจำเป็นต้องขึ้นไปทำธุระที่หมู่บ้านไม้มะค่าอีกครั้ง ในครั้งนี้มีกระแสน้ำไหลจากเหนือลงสู่ใต้ด้วยอัตราเร็ว 3 กิโลเมตรต่อชั่วโมง โดยในช่วงแรก นาย ข เป็นคนพายเรือจนไปถึงหมู่บ้านช่อมะกอก ทั้งคู่จึงแวะพักผ่อนและซื้อของเป็นเวลา 1 ชั่วโมง ก่อนที่นาย ก ซึ่งมีความเร็วฝีพายเพิ่มขึ้น 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะเป็นคนพายเรือต่อไปถึงหมู่บ้านไม้มะค่า ใช้เวลารวมทั้งสิ้น 2 ชั่วโมง จากหมู่บ้านก้านมะยมไปยังหมู่บ้านไม้มะค่า ถามว่าถ้านาย ก พายเรือในน้ำนิ่งโดย ก ใช้ความเร็วฝีพายเท่ากับที่ใช้ในครั้งแรกที่ไปธุระที่หมู่บ้านไม้มะค่าได้ระยะทาง 9 กิโลเมตรแล้วเปลี่ยนให้ ข ซึ่งใช้ความเร็วฝีพายเท่ากับที่ใช้ในการไปธุระทั้ง 2 ครั้งพายเรือในระยะทาง 15 กิโลเมตร จะมีความเร็วเฉลี่ยในการพายทั้งหมดเท่าใด
  
  \item จงหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของ  \(\left| {ab(a + b)} \right|\) เมื่อ  \(a^2  + b^2  \leq 2\)
  
  \item จงแก้สมการ  \(\sqrt {a - \sqrt {a + x} }  = x\) เมื่อ \(a\) เป็นจำนวนจริงและ  \(a \ne 0\)

\end{enumerate}

\end{document}


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ