ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

TUGMOs4 รอบที่ 2



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{ข้อสอบ TUGMOs ครั้งที่ 4 รอบที่ 2 จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\newcommand{\choices}[4]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicess}[4]{ \begin{tabular}{ p{5.5cm} l} ก. #1 & ข. #2 \\ ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent ข้อสอบ TUGMOs ครั้งที่ 4 รอบที่ 2\\

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 2 กรกฎาคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \  สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip
\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% instruction page
\newpage
\setcounter{page}{1}

\noindent
\begin{tabular}{l l} 
\multirow{4}{*}{\includegraphics[width=3.2cm]{tug4_logo.png}} & \\ & \small{ข้อสอบแข่งขันในโครงการสรรหานักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์} \\
 & \small{โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา	ประจำปีการศึกษา 2549} \\ 
 & \small{วิชา คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น รอบที่ 2} \\ 
 & \\
 \hline 
\end{tabular} 

\bigskip

\bigskip

\begin{enumerate}
  \item ข้อมูลเป็นจำนวนนับ 12 ตัว เรียงลำดับสูงไปต่ำ ให้ A เป็นกลุ่มข้อมูล 7 ตัวแรก และ B เป็นกลุ่มข้อมูล 5 ตัวหลัง ถ้าทราบข้อมูลต่อไปนี้
  
  \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
      \hline
      & A & B & รวม \\
      \hline
      \(\bar{x}\) & 20 & X & 16.25 \\
      \hline
      Med & 20 & 13 & 17 \\
      \hline
      Mode & 19 & 15 & Y \\
      \hline
    \end{tabular}
  \end{center}
  
  จงหา X, Y และชุดข้อมูลที่เป็นไปได้ทั้งหมด

  \item ต้องการจัดนักเรียน 9 คน ยืนเป็นแถวตรง จงหาว่าจะจัดได้กี่วิธีสำหรับแต่ละเงื่อนไขต่อไปนี้ (เงื่อนไขแต่ละข้อไม่ต่อเนื่องกัน)
  
    \begin{enumerate}[(i)]
      \item นักเรียน 3 คนคือ A, B, C ไม่ต้องการยืนติดกันเลย
      \item นักเรียน A ไม่ต้องการยืนติดกับนักเรียน B หรือ C
      \item นักเรียน A ต้องการยืนติดกับนักเรียน B และ C
    \end{enumerate}

  \item ให้ \(x,y,z\) เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้อง				
  \[\left. \begin{aligned}
    xy-x-y&=&27 \\ 
    yz-y-z&=&34 \\ 
    zx-z-x&=&19  
  \end{aligned} \right\}\]
  จงหาค่าของ \(x + y + z + xyz\)

  \item กำหนดให้ \(\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}+\ldots +\frac{1}{2549\times 2550}=k\) \\
  จงหาค่าของ \(\frac{1275}{1276}+\frac{1276}{1277}+\frac{1277}{1278}+\ldots +\frac{2548}{2549}\) ในรูปของ \(k\)

  \item มีจำนวนเต็ม 5 ตัวแตกต่างกัน ถ้านำจำนวน 2 จำนวนที่แตกต่างกันใน 5 จำนวนนั้นมาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้ได้แก่ 604, 379, 384, 585, 666, 465, 441, 580, 523, 609 จงหาจำนวนเต็มทั้ง 5 ตัวนั้น

  \item จงหาผลบวกของเลขโดดของจำนวน \(4 + 44 + 444 + \ldots + 444\cdots 4\) (ตัวบวกตัวสุดท้ายมี 4 อยู่ 2006 หลัก)

  \item สำหรับจำนวนเต็มบวก \(n\) ใดๆ ให้ตัวหารแท้ของ \(n\) หมายถึงตัวหารบวกของ \(n\) ที่น้อยกว่า \(n\) มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนซึ่งมีตัวหารแท้ 3 ตัวพอดี และแต่ละตัวน้อยกว่า 50

  \item จากรูป \(\Box ABCD, \Box AEFG, \Box GHIJ\) เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาค่าของ \(\frac{\left[ \square ABCD \right]^{2}}{\left[ \square AEFG \right]\left[ \square GHIJ \right]}\) เมื่อ \(\left[X\right]\) หมายถึงพื้นที่ของรูป \(X\)

  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{tug4-2-8.png}
  \end{center}

  \item ให้ \(a,b,c\) เป็นรากทั้งสามของสมการ \(x^3 - 5x^2 - 8x + 4 = 0\) \\
  จงหาค่าของ \(a^3b + ab^3 + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3\)

  \item สำหรับจำนวนเต็มบวก \(a\) ใดๆ เราจะกระทำการดังนี้
  
  \textbf{ขั้นที่ 1} ให้ \(k\) เป็นเลขฐาน 10 ที่มีเลขโดดเหมือนกับ \(a\) ในฐาน 5 (เช่นถ้า \(a = 20 = \left(40\right)_5\) จะได้ \(k = 40\))
  
  \textbf{ขั้นที่ 2} นำ \(k\) มาหารด้วย 3 แล้วลบด้วย 5 ได้ผลลัพธ์เป็น \(m\)
  
  จงหาจำนวนเต็มบวก \(a\) ทั้งหมด ที่เมื่อกระทำการดังกล่าวแล้วจะได้ \(m = a\)

  \item วงกลม \(A\) รัศมี 6 หน่วย และวงกลม \(B\) รัศมี 8 หน่วย ตัดกันที่จุด \(P\) และ \(Q\) โดย \(\overline{AB}\) ยาว 12 หน่วย \(R\) เป็นจุดบนวงกลม \(A\) และ \(S\) เป็นจุดบนวงกลม \(B\) ซึ่ง \(R,P,S\) อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและ \(PR = PS\) จงหาความยาว \(PR\)

  \item นาย A อายุ 15 ปี, นาย B อายุ \(d \ge 15\) ปี อีก \(n\) ปีข้างหน้าอายุของทั้งสองคนจะเป็นเลขสองหลักที่สลับหลักกัน (เช่น 36 กับ 63) เมื่อ \(d\) และ \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวก มีคู่อันดับ \(\left(d,n\right)\) ที่เป็นไปได้ทั้งหมดกี่คู่อันดับ

  \item นายกะพงเป็นโค้ชของทีมอเมริกันฟุตบอลโรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา ทุกครั้งที่ทีมทำคะแนนได้เขาจะวิดพื้นเป็นจำนวนครั้งเท่ากับคะแนนของทีมในเวลานั้น ถ้าการทำคะแนนแต่ละครั้งจะเป็น 3 คะแนน หรือ 7 คะแนน เท่านั้น และกะพงวิดพื้นรวมทั้งหมด 71 ครั้ง จงหาคะแนนของทีมที่เป็นไปได้ทั้งหมด

  \newpage

  \item ณ ดาว TUGMOs มีการใช้เวลาแบบพิเศษ คือ 1 วันมี 20 ชั่วโมง และ 1 ชั่วโมงมี 36 นาที นาฬิกาของดาวนี้มีเข็มบอกเวลา 2 เข็ม เข็มสั้นเดินทิศทวนเข็มนาฬิกาดาวโลก ครบ 1 รอบเป็น 1 วัน ส่วนเข็มยาวเดินตามเข็มนาฬิกาโลก ครบ 1 รอบเป็น 1 ชั่วโมง
  นาย ก เป็นชาวดาว TUGMOs เดินทางออกจากบ้านหลังเวลา 4 โมง แต่ก่อน 5 โมง เมื่อเขากลับถึงบ้านซึ่งเป็นเวลาหลัง 15 โมง แต่ก่อน 16 โมง เขาพบว่าเข็มนาฬิกาสลับที่กันพอดี
  จงหาว่านาย ก ออกจากบ้านกี่โมง

  \item สำหรับจำนวนเต็ม \(a,b,c\) ใดๆ ให้ \(f\left(a,b,c\right) = \left(a+b+c,ab+bc+ca,abc\right)\)
  จงหาคู่อันดับของจำนวนเต็ม \(\left(a,b,c\right)\) ทั้งหมดที่ \(-2 \le a \le 2\) และ 
  \(f\left(f\left(a,b,c\right)\right) = \left(a,b,c\right)\)

  \item \(\Box ABCD\) เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 6 หน่วย จุด \(F\) เป็นจุดบน \(\overline{DA}\) ที่ทำให้ \(\overline{FA}\) ยาว 4 หน่วย จุด \(E\) เป็นจุดบน \(\overline{AB}\) ที่ทำให้ \(\overline{AE}\) ยาว 3 หน่วย จุด \(P\) เป็นจุดใดๆ ใน \(\Box ABCD\) ที่ทำให้ผลรวมพื้นที่ของ \(\triangle PFE, \triangle PEA, \triangle PFA\) เป็น 16 ตารางหน่วย ถ้าเส้นทางเดิน (Locus) ของ \(P\) ตัด \(\overline{DC}\) ที่จุด \(K\) และตัด
  \(\overline{CB}\) ที่จุด \(M\) จงหา \(KM\)

  \item จงหาคำตอบ \(\left(x,y,z\right)\) ที่เป็นจำนวนจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดของระบบสมการ
  \[\left. \begin{aligned}
     xy&=&z-x-y \\ 
     xz&=&y-z-x \\ 
     yz&=&x-y-z  
  \end{aligned} \right\}\]

  \item ใน \(\triangle ABC\) มี \(\angle B = 60^\circ\) ลากเส้นแบ่งครึ่งมุม \(A\) ไปตัดกับเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากด้าน \(\overline{BC}\) ที่จุด \(D\) และตัดด้าน \(\overline{BC}\) ที่ \(F\) กำหนดให้ \(AC = 3CD\) และ \(CF = 8\) จงหาความยาว \(FD\)

  \item จากผลบวกต่อไปนี้ (อักษรแต่ละตัวแทนเลขโดดที่ต่างกัน)
  
  \begin{center}
    \begin{tabular}{cccccc}
      &  &  & น & ล & \\
      &  &  & ค & ม & \\
      &  & น & ค & ร & + \\
      & ส & ม & พ & ร & \\
      \hline
      พ & ช & ร & พ & ล & \\
      \hline
    \end{tabular}
  \end{center}
  
  จงหาจำนวน ``คนชม''

  \item ใน \(\triangle ABC\) มี \(AB = 15, AC = 18, BC = 24\) ลากเส้นจากจุด \(C\) ลงมาตั้งฉากกับเส้นแบ่งครึ่งมุม \(A\) ที่ \(D\) ให้ \(X\) เป็นจุดบน \(\overline{BC}\) ซึ่ง \(BX = XC\) จงหา \(DX\)

  \item จงหา \(\left(a,b,c\right)\) ทั้งหมดซึ่ง \(a,b,c\) เป็นจำนวนนับ, \(ac = b^2\) และ \(a + b + c = 111\)

  \item วงกลม 3 วงต่างมีรัศมี เท่ากับ 3 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด \(P(22,63) , Q(25,49) , R(27,56)\) ตามลำดับ กำหนด \(L\) เป็นเส้นตรงซึ่งลากผ่านจุด \(Q\) และแบ่งพื้นที่ทั้งหมดของวงกลมทั้งสามออกเป็น 2 ส่วนเท่าๆ กัน จงหาค่าสัมบูรณ์ของความชันของเส้นตรง \(L\)

  \item จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ไม่สามารถเขียนในรูป \(42a + b\) โดย \(a, b\) เป็นจำนวนเต็มบวก และ \(b\) เป็นจำนวนประกอบ

  \item ในชั่วโมงคณิตศาสตร์ อาจารย์สมชายเลือกนักเรียนมาจำนวนหนึ่ง (มากกว่า 1 คน)เพื่อมาเล่นเกม โดยมีกติกาดังนี้
  ให้นักเรียนนั่งเรียงเป็นวงกลม และอาจารย์สมชายจะเดินรอบวงกลมในทิศตามเข็มนาฬิกา โดยเริ่มที่นักเรียน A เมื่ออาจารย์สมชายเดินผ่านนักเรียนแต่ละคน จะบอกคำสั่งว่า ``รอด'' หรือ ``ตาย'' ให้กับนักเรียนคนนั้น และคนที่ได้รับคำสั่ง ``ตาย'' ต้องออกจากวงทันที
  อาจารย์สมชายจะบอกคำสั่งด้วยรูปแบบ รอด, ตาย, ตาย, รอด, ตาย, ตาย, ... วนไปเรื่อยๆ จนเหลือนักเรียนคนเดียว นักเรียนคนนั้นจะเป็นผู้ชนะ
  ปรากฏว่าผู้ชนะคือ นักเรียนที่นั่งด้านขวา A
  ถ้านักเรียนในห้องมี 1000 คน จงหาว่าจำนวนนักเรียนที่อาจารย์สมชายเลือก เป็นเท่าไรได้บ้าง

  \item จงหา \(\left(a,b,c\right)\) ทั้งหมด ที่ \(a,b,c\) เป็นจำนวนเต็มบวก, \(a \ge b\) และ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\) เป็นจำนวนเต็ม

  \item ดาราเกาหลี 3000 คนเข้าแถวเป็นแนวตรงเพื่อเซ็นลายเซ็น โดยเริ่มที่คนที่ 1 เซ็นก่อน แล้วส่งกระดาษต่อไปยังคนถัดไปไปเรื่อยๆ (เวลาที่ใช้ช่วงส่งกระดาษเป็น 0) คนที่ 1 ใช้เวลา 1 วินาทีในการเซ็น สำหรับ n เป็นจำนวนนับใดๆ คนที่ 2n กับคนที่ n จะใช้เวลาเซ็นเท่ากัน และคนที่ 2n + 1 จะใช้เวลามากกว่าคนที่ 2n อยู่ 1 วินาที คนที่ 2549 จะใช้เวลาเซ็นกี่นาที และคนแรกที่ใช้เวลา 9 วินาที คือคนที่เท่าใด

  \item บันไดมีทั้งหมด 13 ขั้น สมจิตต์ต้องการเดินขึ้นบันไดทีละ 1 หรือ 3 ขั้น เขาจะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี
  
\end{enumerate}
\end{document}


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ