ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

TUGMOs5 รอบที่ 1



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{ข้อสอบ TUGMOs ครั้งที่ 5 รอบที่ 1 จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\newcommand{\choices}[4]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicess}[4]{ \begin{tabular}{ p{5.5cm} l} ก. #1 & ข. #2 \\ ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent ข้อสอบ TUGMOs ครั้งที่ 5 รอบที่ 1\\
\noindent สอบวันที่ 3 ธันวาคม 2550

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 19 พฤษภาคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \  สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip
\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% instruction page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\setcounter{page}{1}

\noindent
\begin{tabular}{l l} 
\multirow{4}{*}{\includegraphics[width=3.2cm]{tug5_logo.png}} & \small{ข้อสอบแข่งขันในโครงการสรรหานักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์} \\
 & \small{โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา	ประจำปีการศึกษา 2550} \\ 
 & \small{วิชา คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น รอบที่ 1} \\ 
 & \small{สอบวันจันทร์ที่ 3 ธันวาคม 2550  เวลา  09.00-11.40 น.} \\
 & \\
 \hline 
\end{tabular} 

\bigskip

\bigskip

\begin{center}
\framebox{
  \parbox{16cm}{

    \noindent \textbf{คำชี้แจง}

    \begin{enumerate} 
      \item แบบทดสอบฉบับนี้มี 10 หน้า ผู้สอบสามารถศึกษารายละเอียดข้อสอบได้ในหน้าถัดไป
      \item ใช้เวลาสอบ 2 ชั่วโมง 40 นาที (09.00 - 11.40 น.)
      \item ไม่อนุญาตให้เปิดข้อสอบก่อนได้รับอนุญาตจากกรรมการคุมสอบ
      \item สามารถทดในกระดาษข้อสอบได้ อนุญาตให้นำกระดาษข้อสอบกลับไปได้ และจะมีการจัดทำหนังสือข้อสอบและเฉลยขึ้นภายหลังการสอบ
      \item ใช้ปากกาสีน้ำเงินหรือดำเท่านั้นในการตอบ
      \item กรอกข้อมูลลงในกระดาษคำตอบให้ครบถ้วนและชัดเจน เขียนชื่อ นามสกุล โรงเรียน และเลขประจำตัวสอบในกระดาษคำตอบในบริเวณที่กำหนด และให้ดึงกระดาษคำตอบแยกจากเล่มข้อสอบ
      \item อนุญาตให้ออกจากห้องสอบได้หลังจากเวลาสอบผ่านไปครึ่งหนึ่ง (10.20 น.)
      \item เมื่อหมดเวลาสอบหรือเมื่อจะส่งกระดาษคำตอบ ให้วางปากกา และคว่ำกระดาษคำตอบไว้บนโต๊ะ แล้วออกจากห้องสอบทันที
      \item หากมีข้อสงสัยให้ยกมือขึ้นเหนือศีรษะเพื่อสอบถามจากกรรมการคุมสอบ
      \item ถ้าทำผิดคำสั่งจะไม่ได้รับการตรวจ
      \item คำตัดสินของคณะกรรมการจัดการแข่งขันถือเป็นข้อยุติ
      \item ไม่อนุญาตให้ใช้เครื่องมือช่วยคำนวณทุกชนิด และห้ามทุจริตในการสอบ หากผู้สอบส่อพฤติกรรมทุจริตจะ\underline{ปรับตก}ในการสอบทันที
      \item นักเรียนสามารถสมัครเป็นนักเรียนโครงการพัฒนาศักยภาพฯ ทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา ได้ภายหลังจากการประกาศผลสอบของโรงเรียน และจะมีการแนะแนวการสมัครในภายหลัง
       
    \end{enumerate}
  }
}
\end{center}

\newpage

% instruction
\noindent \textbf{รายละเอียดข้อสอบ}

\begin{enumerate} 
  \item แบบทดสอบฉบับนี้มี 4 ตอน ดังนี้
  
  	\underline{\textbf{ตอนที่ 1}}	เป็นแบบเลือกตอบ ให้กากบาทลงในช่องตัวเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงตัวเลือกเดียว หากต้องการเปลี่ยนคำตอบ ให้ลบคำตอบเดิมให้สะอาด แล้วจึงกากบาทตัวเลือกใหม่

    \hspace{1cm} \underline{ตัวอย่าง} ต้องการตอบข้อ ค.
  	
  	\begin{center}
      \includegraphics[height=1.5cm]{tug5-1-0-1.png}
    \end{center}
    
  	\underline{\textbf{ตอนที่ 2}}	เป็นแบบเลือกตอบ ให้กากบาทลงในช่องตัวเลือกคำตอบที่ถูกต้องทั้งหมด หากต้องการเปลี่ยนคำตอบ ให้ลบคำตอบเดิมให้สะอาด แล้วจึงกากบาทตัวเลือกใหม่
  		
  		\hspace{1cm} \underline{ตัวอย่าง} ต้องการตอบข้อ ก. และ ข.
  		
  		\begin{center}
        \includegraphics[height=1.5cm]{tug5-1-0-2.png}
      \end{center}
      	
  	\underline{\textbf{ตอนที่ 3}}	เป็นแบบเติมคำตอบ ให้เติมคำตอบลงในบริเวณที่กำหนดให้
  	
  	\underline{\textbf{ตอนที่ 4}}	เป็นแบบแสดงวิธีทำ ให้เขียนคำตอบตามโจทย์ต้องการ พร้อมกับแสดงวิธีทำพอสังเขป ในช่องว่างที่ให้ไว้ (หากที่ว่างไม่พอ อนุญาตให้เขียนต่อด้านหลังได้)

  \item	คะแนนในแต่ละตอนเป็นดังนี้
  
  \begin{tabular}{ l l l l l l} 
    ตอนที่ 1 & มี 7 ข้อ & & ข้อละ & 1.732051 & คะแนน \\
    ตอนที่ 2 & มี 3 ข้อ & & ข้อละ & 2.718282 & คะแนน \\
    ตอนที่ 3 & มี 17 ข้อ & ข้อที่ 1 - 7 & ข้อละ &	3.141593 & คะแนน \\
     & & ข้อที่ 8 - 13 & ข้อละ &	4.669201 & คะแนน \\
     & & ข้อที่ 14 - 17 & ข้อละ &	5.678610 & คะแนน \\
    ตอนที่ 4 & มี 1 ข้อ & & & 7 & คะแนน \\
     & & & รวม & 100 & คะแนน \\
  \end{tabular}
  
\end{enumerate}

\noindent \textbf{ข้อตกลง}

\begin{enumerate}
  \item ในการทำข้อสอบฉบับนี้ \underline{\textbf{ห้าม}}ประมาณค่าจำนวนอตรรกยะ
  \item ไม่มีจำนวนจินตภาพ (ดังนั้น \(\sqrt{-5}\) จึงไม่มีความหมาย และหาค่าไม่ได้)
  \item \(\pi \neq \frac{22}{7}\), \(\pi \neq\) 3.1415926535897932384626433832795 \ldots
\end{enumerate}

% problems
\newpage

\underline{\textbf{ตอนที่ 1}} จงกากบาทลงในช่องตัวเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงตัวเลือกเดียว

\begin{enumerate}
  \item ในงานเลี้ยงงานหนึ่ง แฝดห้า ชื่อว่า กก กน นก นน และกนก ได้จัดการแสดง โดยทุกคนยืนเรียงกันเป็นแถวหน้ากระดาน แต่ละคนถือลูกบอลคนละลูก ซึ่งมีลูกบอลสีแดง สีแสด สีเหลือง สีฟ้า และสีเขียว อย่างละหนึ่งลูก ถ้าข้อมูลต่อไปนี้เป็นจริง

  \renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii})}
  
  \begin{enumerate}
    \item เริ่มต้น นกถือลูกบอลสีฟ้า คนที่อยู่ซ้ายสุดถือลูกบอลสีเขียว และกนยืนอยู่ตรงกลาง
  
    \item จากนั้นคนที่ถือลูกบอลสีเหลืองสลับลูกบอลกับคนที่อยู่ขวาสุด จะได้ว่าคนที่ถือลูกบอลสีแดงยืนติดกับคนที่ถือลูกบอลสีแสด กกยืนติดกับนก คนที่ถือลูกบอลสีฟ้ายืนติดกับนน กกและกนกยืนติดกับคนที่ถือลูกบอลสีแดง
  
  \end{enumerate}
  
  เริ่มต้น กนกถือลูกบอลสีอะไร
  
  \choices{สีแดง}{สีแสด}{สีเหลือง}{สีเขียว}
  
  \item สำหรับจำนวนจริง \(a\), \(b\) กำหนดให้ \(a \otimes b = \frac{2b^2 + 2ab + a}{2(b+1)^2}\)
  
  จงหาค่าของ \(1 \otimes (2 \otimes (3 \otimes \ldots \otimes (2007 \otimes 2008) \ldots ))\)

  \choices{\(\frac{13}{9}\)}{\(\frac{13}{18}\)}{\(\frac{5}{4}\)}{\(\frac{5}{8}\)}
  
  \item นายกรีนกำลังขับรถฝ่าสายฝนเพื่อพาเพื่อนสนิทคนหนึ่งไปซื้อกระเป๋าด้วยกัน บังเอิญเห็นที่ปัดน้ำฝนหน้ารถกำลังปัดน้ำฝนปรากฏดังรูป ที่ปัดน้ำฝนทั้งสองมีขนาดเท่ากัน และปลายของที่ปัดน้ำฝนอันขวาอยู่ตรงกับจุดหมุนของอันซ้ายพอดี ถ้าที่ปัดน้ำฝนยาวอันละ 6 หน่วย จงหาว่าที่ปัดน้ำฝนทั้งสองอันสามารถปัดน้ำฝนได้เป็นพื้นที่กี่ตารางหน่วย
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=3cm]{tug5-1-1-3.png}
  \end{center}
  
  \choices{\(15 \pi - 93\)}{\(15 \pi + 93\)}{\(21 \pi - 93\)}{\(21 \pi + 93\)}
  
  \item จุดยอดของพาราโบลาในข้อใดอยู่สูงที่สุด
  
  \choicess{\(2x^2+4x+3=\frac{y}{\sqrt{3}}\)}{\(\frac{1}{4}x^2-\frac{x}{\sqrt{2}}+\sqrt{5}=\sqrt{2}x+y-4\)}{\(12x^2-4x+y=\sqrt{2}\)}{\(x+\frac{3}{4} \sqrt{\pi} = \frac{y-x^2}{\sqrt{\pi}}\)}
  
  \newpage
  
  \item นิกสั่งให้ป๊อปเลือกจำนวนจาก 1 ถึง 2550 มากี่จำนวนก็ได้ แล้วเขียนใส่กระดาษ โดยมีเงื่อนไขว่า หากนิกเลือกจำนวนในกระดาษมา 3 จำนวน หาผลรวมแล้วปรากฏว่าหารด้วย 7 ลงตัว ป๊อปจะถูกลงโทษ จงหาว่า ป๊อปจะเขียนจำนวนใส่กระดาษได้มากที่สุดกี่จำนวน จึงจะไม่ถูกลงโทษอย่างแน่นอน
  
  \choices{729 จำนวน}{730 จำนวน}{731 จำนวน}{732 จำนวน}
  
  \item ให้ \(O\) เป็นจุดในสี่เหลี่ยมจัตุรัส \(ABCD\) ที่ทำให้ \(A \hat OB=150^\circ\) และ \(AO = BO\)
  
  ให้ \(AB\) ยาว \(2\sqrt[4]{3}\) หน่วย สามเหลี่ยม \(OCD\) มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย
  
  \choices{3}{23}{6}{2}
  
  \item จากรูป มีสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 4 x 6 หน่วย ภายในบรรจุครึ่งวงกลม 4 รูป ทุกรูปมีรัศมี 2 หน่วย ส่วนที่แรเงามีพื้นที่กี่ตารางหน่วย
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=4.5cm]{tug5-1-1-7.png}
  \end{center}
  
  \choices{\(\frac{24+4 \pi - 6\sqrt{3}}{3}\)}{\(\frac{24-4 \pi + 6\sqrt{3}}{3}\)}{\(\frac{24-4 \pi - 6\sqrt{3}}{3}\)}{\(\frac{24+4 \pi + 6\sqrt{3}}{3}\)}
  
\end{enumerate}

\newpage \underline{\textbf{ตอนที่ 2}} จงกากบาทลงในช่องตัวเลือกคำตอบที่ถูกต้องทั้งหมด

\begin{enumerate}
  
  \item ในสามเหลี่ยมใดๆ ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้องบ้าง
  
	ก. เส้นมัธยฐานที่ลากไปยังด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมจะเป็นเส้นมัธยฐานที่สั้นที่สุดเสมอ

  ข. ความยาวของเส้นมัธยฐานทั้งหมดรวมกันจะน้อยกว่าความยาวด้านของสามเหลี่ยมรวมกันเสมอ

  ค. ความยาวของเส้นมัธยฐานทั้งหมดรวมกันจะมากกว่าความยาวของส่วนสูงทั้งหมดรวมกัน

  \item ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้องบ้าง
  
  ก. ๕๕๗,๑๒๙ + MDCLIX + \includegraphics[height=0.7cm]{tug5-1-2-3-1.png} + \includegraphics[height=0.7cm]{tug5-1-2-3-2.png} = 559,128
  
  ข. ในบรรดาข้อความ 4 ข้อต่อไปนี้ มีข้อความที่ถูกต้อง 2 ข้อ
  
  \renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii})}
  
  \begin{enumerate}
    \item สนามหญ้าขนาด 10 เอเคอร์ มีพื้นที่มากกว่าสวนดอกไม้ขนาด 20 ไร่
    \item หญิงสาวน้ำหนัก 50 กิโลกรัม มีน้ำหนักมากกว่าเค้กยักษ์ขนาด 110 ปอนด์
    \item แม่น้ำยาว 1 โยชน์ มีความยาวมากกว่ากว่าถนนยาว 1 ไมล์
    \item น้ำมันพืช 1 ถ้วยตวง มีปริมาตรมากกว่าซีอิ๊วขาว 15 ช้อนโต๊ะ
  \end{enumerate}
  
  ค. ถ้าวันที่ 3 ธันวาคม พ.ศ. 2550 เป็นวันจันทร์ แล้ววันที่ 3 มกราคม พ.ศ. 2950 เป็นวันพฤหัสบดี
  
  \item ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้องบ้าง
  
  ก. เลขโดดในหลักหน่วยของ \(7^{2007} + 3^{2007}\) คือเลข 0
  
  ข. เลขโดดในหลักสิบของ \(7^{2007} + 3^{2007}\) คือเลข 3
  
  ค. กำหนดให้ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนตรรกยะ \(c\) และ \(d\) เป็นจำนวนอตรรกยะ
  
  \hspace{0.4cm} จะได้ว่า ในบรรดาข้อความ 9 ข้อต่อไปนี้ มีข้อความที่ถูกต้อง 3 ข้อ
  
  \renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii})}
  
  \begin{enumerate}
    \item \(a+b\) และ \(a-b\) เป็นจำนวนตรรกยะ
    \item \(a+c\) และ \(a-c\) เป็นจำนวนอตรรกยะ
    \item \(c+d\) และ \(c-d\) เป็นจำนวนอตรรกยะ
    \item \(ab\) เป็นจำนวนตรรกยะ
    \item \(ac\) เป็นจำนวนอตรรกยะ
    \item \(cd\) เป็นจำนวนอตรรกยะ
    \item \(\frac{a}{b}\) เป็นจำนวนตรรกยะ
    \item \(\frac{a}{c}\) เป็นจำนวนอตรรกยะ
    \item \(\frac{c}{d}\) เป็นจำนวนอตรรกยะ
  \end{enumerate}
  
\end{enumerate}

\newpage

\newpage \underline{\textbf{ตอนที่ 3}} จงเติมคำตอบในบริเวณที่กำหนดให้

\begin{enumerate}
  \item กำหนดให้ \(x\) แทนจำนวนข้อความที่ถูกต้อง จากข้อความต่อไปนี้
  
  \renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii})}
  
  \begin{enumerate}
    \item ในระบบจำนวนจริง 1 + 1 = 2
    \item ผลบวกของจำนวนเฉพาะบวกตั้งแต่ 1 ถึง 2551 มีค่าเป็นจำนวนคี่
    \item เซปโทมิโน (septomino) เป็นรูปที่ได้จากการต่อสี่เหลี่ยมจัตุรัสจำนวน 7 รูป โดยนำด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสมาประกบกันเป็นคู่ๆ จนได้รูปเหลี่ยมที่ต่อเนื่องกันดังตัวอย่าง หากนับเซปโทมิโนสองรูปที่พลิกหรือหมุนแล้วเหมือนกัน ว่าเป็นเซปโทมิโนเพียงรูปเดียว จะได้ว่ามีเซปโทมิโนทั้งหมด 108 แบบ
    
    \begin{center}
      \includegraphics[height=4cm]{tug5-1-3-1.png}
    \end{center}
    
    \item ในระบบเงินตราของดาว TUGMOs ไม่มีธนบัตร มีเพียงเหรียญ 42 อุ๊, 27 อุ๊, 11 อุ๊, 4 อุ๊ และ 1 อุ๊ เท่านั้น เหรียญทุกเหรียญหนัก 1 เอ๊ะ เท่ากัน นายพชรพลซึ่งอยู่บนดาว TUGMOs ต้องการซื้อคอมพิวเตอร์รุ่น ``จตุคอร์ แรมเทพ (Quad-core Super-RAM)'' เขาไม่ทราบราคา แต่มั่นใจว่าราคาไม่เกิน 80 อุ๊ อย่างแน่นอน เขาเป็นคนที่ไม่ชอบพกเงินติดตัวมากมาย เขาจึงตั้งใจจะพกเงินไปและพกเงินทอนกลับให้มีน้ำหนักรวมน้อยที่สุด นายพชรพลจึงนั่งคำนวณดู พบว่าเขาจะต้องพกเงินไปและพกเงินทอนกลับน้ำหนักรวมกันอย่างมากที่สุด 8 เอ๊ะ (เขาต้องนำเงินทอนทั้งหมดกลับ)
    \item ถ้ากระดาษแผ่นหนึ่งพิมพ์ตัวเลขได้ 1000 ตัว และกระดาษหนึ่งรีมมี 1000 แผ่น จะต้องใช้กระดาษ 10000 รีมในการพิมพ์ค่า \(10^{10^{10}}\) เป็นตัวเลขในฐานสิบ
    \item จำนวนที่มากที่สุดที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์และเลขโดดแต่ละตัวแตกต่างกัน คือ 9814072356
    \item ในวันหนึ่งๆ หากนำเลขโดดที่ปรากฏบนนาฬิกาดิจิทัลของทุกๆ นาทีมาบวกกัน จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนคู่
    \item รูปหลายเหลี่ยมใดๆ ที่มีพิกัดของจุดยอดเป็นจำนวนเต็ม จะมีแกนสมมาตรไม่เกิน 4 แกน
    \item ตามพระราชบัญญัติว่าด้วยการกระทำความผิดเกี่ยวกับคอมพิวเตอร์ พ.ศ. 2550 ผู้ใดส่งข้อมูลคอมพิวเตอร์หรือจดหมายอิเล็กทรอนิกส์แก่บุคคลอื่น โดยปกปิดหรือปลอมแปลงแหล่งที่มาของการส่งข้อมูลดังกล่าว อันเป็นการรบกวนการใช้ระบบคอมพิวเตอร์ของผู้อื่นโดยปกติสุข ต้องระวางโทษปรับไม่เกินห้าหมื่นบาท
    \item	การแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกครั้งที่ 49 จะจัดขึ้นที่เมืองเกรเนดา ประเทศสเปน ในปี พ.ศ. 2551 และการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกครั้งที่ 50 จะจัดขึ้นที่เมืองเบรเมน ประเทศเยอรมนี ในปี พ.ศ. 2552
  \end{enumerate}
  
  จงหาค่าของ \(\frac{8(16x+185)+41(3x+19)}{\frac{1}{8}\sqrt{(x+13)^2-8(x+11)}}\)
  
  \item ให้ \(a\), \(b\), \(c\) เป็นจำนวนจริงใด ๆ ซึ่ง \(a + b + c = 0\) และ \(a \neq 0\), \(b \neq 0\), \(c \neq 0\)
  
  จงหาค่าของ \(\frac{(a+b)^2}{ab}+\frac{(b+c)^2}{bc}+\frac{(c+a)^2}{ca}\)

  \item ข้อสอบคณิตศาสตร์ของโรงเรียนแห่งหนึ่งเป็นข้อสอบแบบถูกผิด 15 ข้อ โดยแบ่งเป็น ข้อละ 1 คะแนน จำนวน 10 ข้อ และข้อละ 2 คะแนน จำนวน 5 ข้อ ถ้าตอบถูกจะได้คะแนนตามที่กำหนดไว้ ถ้าตอบผิดจะได้ศูนย์ นายเล็กต้องการท้าทายความสามารถของตัวเองโดยทำให้ได้ 6 คะแนนพอดี โดยมีข้อแม้ว่าจะต้องทำข้อสอบทุกข้อ จงหาว่าเขาจะสามารถทำข้อสอบได้ทั้งหมดกี่วิธี
  
  \item ความยาวของส่วนสูงทั้งสามของสามเหลี่ยม A เป็น 3, 4 และ 6 หน่วย ตามลำดับ
  ความยาวของเส้นมัธยฐานทั้งสามของสามเหลี่ยม B เป็น 4, 6 และ 8 หน่วย ตามลำดับ
  จงหาผลต่างของพื้นที่สามเหลี่ยม A และ B

  \item ทรงเรขาคณิตสามมิติรูปหนึ่งประกอบขึ้นจากลูกบาศก์หน่วย และเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติแสดงภาพที่ได้จากการมองทางด้านบนพร้อมทั้งตัวเลขแสดงจำนวนลูกบาศก์ได้ดังรูป ทรงเรขาคณิตสามมิติรูปนี้มีพื้นที่ผิวกี่ตารางหน่วย
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=4cm]{tug5-1-3-5.png}
  \end{center}
  
  \item กำหนดลำดับดังนี้
   
  1 , -2 , -1 , 4 , 17 , 46 , \ldots
  
  จงหาพจน์ที่ 10 ของลำดับ
  
  \item ให้ \(a\), \(b\) เป็นจำนวนเต็มบวก ที่ ห.ร.ม. ของ \(a\) และ \(b\) เป็น 1
  
  ให้	\(x\) เป็น ห.ร.ม. ของ \(a+b\) และ \(a-b\)
  
  \hspace{0.5cm} \(y\) เป็น ห.ร.ม. ของ \(a+2b\) และ \(a-2b\)
  
  ถ้า \(a > 2b\) แล้ว จงหาค่าสูงสุดของ \(xy\)
  
  \item หลังการสอบปลายภาคที่มีคะแนนเต็ม 100 คะแนน สิ้นสุดลง นักเรียนห้อง ม.3/2 จำนวน 10 คน ได้คะแนนเป็นจำนวนเต็ม และไม่มีใครได้คะแนนต่ำกว่า 60 คะแนน แต่อาจารย์ทำคะแนนของนักเรียนหายไป 3 คน โดยนักเรียน 7 คนที่เหลือได้คะแนน 68, 76, 78, 81, 87, 87 และ 92 คะแนน ถ้าทราบว่าคะแนนของนักเรียนทั้ง 10 คนนี้ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับฐานนิยม จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนของนักเรียนทั้ง 10 คน
  
  \item จงหาผลบวกของกำลังสองของคำตอบที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของ \(4x^2-40 \lfloor x \rfloor +51=0\) โดยที่ \(\lfloor x \rfloor\) คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ \(x\)
  
  \item จากรูป \(\square ABCD\) เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่มีอัตราส่วนความยาวด้าน \(AB : BC = 3 : 2\) ถ้าอัตราส่วนพื้นที่ \(S_2 : S_3 = 3 : 4\) และอัตราส่วนพื้นที่ \(S_2 : S_4 = 2 : 3\) และ \(S_1\) มีพื้นที่ 420 ตารางหน่วย แล้ว \(\square ABCD\) มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย
  
  \item ลูกเต๋าลูกหนึ่งมีผลรวมแต้มของสองด้านที่อยู่ตรงข้ามกันเท่ากันทุกคู่ กำหนดให้แต้มบนด้านที่อยู่รอบมุมของลูกเต๋ามุมหนึ่งเป็น 36, 52 และ 56 และแต้มบนด้านที่เหลือเป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่าไม่เกิน 1,000 ทั้งสิ้น จงหาผลรวมที่มีค่ามากที่สุดของแต้มบน 3 ด้านที่เหลือ

  \item นายธนะต้องการเล่นเกมคอมพิวเตอร์ทายเลขปริศนา ซึ่งเป็นเลข 4 หลัก ประกอบด้วยเลขโดด 0-9 โดยเลข 0 ไม่อยู่หน้าสุด และไม่มีเลขโดดในหลักใดซ้ำกันเลย ในการทาย คอมพิวเตอร์จะแสดงผลลัพธ์ตามเงื่อนไขต่อไปนี้
  
  \renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii})}
  \begin{enumerate}
    \item คอมพิวเตอร์จะแสดงผลลัพธ์เป็น A ถ้าเลขโดดของตัวเลขที่ทายตรงกันกับเลขโดดในตัวเลขปริศนา และอยู่ในหลักที่ถูกต้อง ตามจำนวนเลขโดดที่ถูกตามเงื่อนไข
    \item คอมพิวเตอร์จะแสดงผลลัพธ์เป็น B ถ้าเลขโดดของตัวเลขที่ทายตรงกันกับเลขโดดในตัวเลขปริศนา แต่ไม่ถูกหลัก ตามจำนวนเลขโดดที่ถูกตามเงื่อนไข
  \end{enumerate}
  
  ถ้านายธนะทายไป 3 ครั้ง ได้ผลลัพธ์ออกมาดังนี้
  
  \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} l}
    & 1234 & AA \\
    & 5678 & B \\
    & 1594 & AAB \\
  \end{tabular}
  
  จงหาผลรวมของเลขปริศนาที่เป็นไปได้ทั้งหมด

  \item ให้ \(p\), \(q\) เป็นจำนวนเต็มบวกที่มี ห.ร.ม.เป็น 1 และ
  
  \[\frac{p}{q}=\frac{543}{2549}+\frac{543 \times 542}{2549 \times 2548}+ \ldots +\frac{543 \times 542 \times \ldots \times 1}{2549 \times 2548 \times \ldots \times 2007}\]

  จงหาค่าของ \(p+q\)
  
  \newpage
  \item ในแม่น้ำที่มีกระแสน้ำคงที่ เรือ ก จะแล่นทวนน้ำด้วยอัตราเร็ว 3 เมตรต่อวินาที และแล่นตามน้ำด้วยอัตราเร็ว 5 เมตรต่อวินาที ส่วนเรือ ข แล่นตามน้ำด้วยอัตราเร็ว 7 เมตรต่อวินาที ในวันลอยกระทง เรือ ก และเรือ ข หันหัวเรือเข้าหากัน โดยเรือ ก แล่นตามน้ำ และเรือ ข แล่นทวนน้ำ เรือ ก ยาว 9 เมตร และเรือ ข ยาว 5 เมตร มีเด็กชายตั้ม และรถไฟ ต อยู่ที่ท้ายเรือ ก และมีเด็กหญิงนิว และรถไฟ น อยู่ที่ท้ายเรือ ข รถไฟของเด็กทั้งสอง เมื่อปล่อย จะแล่นด้วยความเร็ว 0.5 เมตรต่อวินาที (เทียบกับพื้นนิ่ง) ไปทางหัวเรือแต่ละลำ เรือทั้งสองเริ่มแล่นพร้อมๆ กับที่เด็กทั้งสองปล่อยรถไฟของตน เมื่อเรือทั้งสองลำเริ่มสวนกัน หมวกที่เด็กหญิงนิวสวมอยู่ก็หล่นลงน้ำในแนวดิ่งทันที เด็กหญิงนิวรู้สึกตัวเมื่อเรือทั้งสองลำสวนกันพ้นพอดี จึงแล่นเรือถอยหลัง (ไม่หันหัวเรือ) ไปเก็บหมวก ทันทีที่เด็กหญิงนิวซึ่งยังอยู่ที่ท้ายเรือเก็บหมวกได้แล้วนั้น เด็กหญิงนิวก็แล่นเรือกลับไปทางเดิมทันที ถ้าเรือทั้งสองลำสวนกันพ้นพอดีอีกครั้งหลังจากที่รถไฟของเด็กทั้งสองสวนกันพ้นพอดีครั้งแรกเป็นเวลา 1.9 วินาที จงหาว่า ก่อนออกเรือ หัวเรือของเรือทั้งสองลำอยู่ห่างกันกี่เมตร
  
  \item กำหนดให้ \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) และ \(k\) เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับ
  
  \[k = \left( \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}} + \sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}} + \ldots + \sqrt{1+\frac{1}{24^2}+\frac{1}{25^2}} \right) + \frac{1}{25} \]
  
  \[a = \sqrt{|k| - \sqrt{2k-a+1}}\]
  \[b = \sqrt{|k| + \sqrt{2k-b+1}}\]
  \[c = \sqrt{|k| - \sqrt{2k+c+1}}\]
  \[d = \sqrt{|k| + \sqrt{2k+d+1}}\]
  
  จงหาค่าของ \(abcd\)
  
  \item ให้ \(x\), \(y\) และ \(z\) เป็นจำนวนจริงใดๆ
  
  จงหาค่าที่ต่ำที่สุดที่เป็นไปได้ของ \(\frac{x^2}{(3x-2y-z)^2}+\frac{y^2}{(3y-2z-x)^2}+\frac{z^2}{(3z-2x-y)^2}\)

  \item ในรูปสี่เหลี่ยม \(ABCD\) กำหนดให้ \(B \hat AC = C \hat AD = 25^\circ\), \(A \hat BD = 125^\circ\) และ \(BC = CD\)
  
  ให้ \(E\) เป็นจุดภายในด้าน \(AD\) ที่ทำให้ \(BC = DE\)
  
  จงหาขนาดของ \(A \hat CE\)
\end{enumerate}

\newpage

\underline{\textbf{ตอนที่ 4}} จงแสดงวิธีทำ

หมากล้อม หรือ โกะ ถือกำเนิดขึ้นในประเทศจีนมาแล้วกว่า 3,000 - 4,000 ปี ในอดีตเป็นที่นิยมเล่นในหมู่ปัญญาชนชั้นสูงและขุนนางผู้บริหารประเทศ และมีความสำคัญจนได้รับการจัดให้เป็น 1 ใน 4 ศิลปะประจำชาติจีน (หมากล้อม ดนตรี กลอน และภาพ) ต่อมาหมากล้อมจึงเผยแพร่เข้าสู่ประเทศญี่ปุ่นและเกาหลี โกะรุ่งเรืองอย่างมากในญี่ปุ่น สมัยโชกุนโตกุกาว่า ได้สนับสนุนให้ทหารเล่นโกะ เปลี่ยนวิธีการรบด้วยกำลังเป็นการรบด้วยปัญญา และยังสนับสนุนให้โกะแพร่หลายมากยิ่งขึ้นอีก โดยโชกุนโตกุกาว่าได้ตั้งสำนักโกะขึ้น 4 สำนัก เพื่อคัดเลือกผู้เป็นยอดฝีมือโกะของญี่ปุ่น โดยจัดให้สำนักทั้ง 4 คือ ฮงนินโบ, อิโนอูเอะ, ยาสุอิ และ ฮายาชิ ส่งตัวแทนมาประลองฝีมือเพื่อชิงตำแหน่ง ``เมย์จิน'' จากการส่งเสริมโกะของญี่ปุ่น ทำให้อีกประมาณ 100 ปีต่อมา มาตรฐานฝีมือนักเล่นโกะของญี่ปุ่นก็ก้าวนำจีน ซึ่งเป็นต้นกำเนิดของโกะรวมทั้งประเทศเกาหลีไปไกลแล้ว ปัจจุบันทั่วโลกเล่นโกะกันอย่างแพร่หลาย โกะเรียกเป็นสากลว่า ``Go'' ปัจจุบัน โกะแพร่หลายในกว่า 50 ประเทศ มีการก่อตั้งสมาพันธ์หมากล้อมนานาชาติขึ้นในปี พ.ศ. 2522 นอกจากนี้แล้ว โรงเรียนและมหาวิทยาลัยหลายแห่งยังมีการบรรจุวิชาโกะในหลักสูตร และมีการศึกษาปรัชญาจากโกะอีกด้วย \(^1\)

โดยปกติแล้ว การเล่นโกะจะใช้หมากดำ หมากขาว และกระดานขนาด 19 x 19 เส้น เนื่องจากกระดานโกะมีขนาดใหญ่กว่ากระดานหมากรุกหลายเท่าตัว การเล่นโกะจึงเปรียบเสมือนการทำสงครามที่มีหลายสนามรบ การชนะในสนามรบเดียวนั้นไม่อาจทำให้ชนะทั้งสงครามได้ ดังนั้นจึงต้องใช้ทรัพยากรที่มีอย่างคุ้มค่า พิจารณาถึงผลได้ผลเสียอย่างถี่ถ้วน เน้นการสร้างตนเองให้แข็งแกร่ง ไม่ใช่การทำลายคู่ต่อสู้

นาย อ และนางสาว ป หลงใหลการเล่นโกะเป็นชีวิตจิตใจ และมักจะเล่นโกะด้วยกันทุกวัน ทั้งสองคนชอบหาบริเวณที่สงบและเป็นส่วนตัวสำหรับเล่นโกะด้วยกันสองต่อสอง แต่มักจะมีผู้สอดรู้สอดเห็น เข้าไปสังเกตการณ์เป็นประจำ สร้างความเบื่อหน่ายเป็นอย่างมาก ทั้งสองคนจึงได้คิดรหัสลับจากหมากโกะขึ้น เพื่อใช้ในการพูดคุยและการนัดหมายที่เป็นความลับระหว่างกัน

ด้วยเหตุผลอะไรสักอย่าง คุณจำเป็นจะต้องทราบว่า วันนี้ ทั้งสองคนไปเล่นโกะที่ไหน คุณรู้เพียงว่าพวกเขาไปที่งานโชว์งานหนึ่งเท่านั้น โชคดีที่คุณจำหมากโกะที่ทั้งสองคนสื่อสารกันในวันนี้ได้ รวมไปถึงแอบจดรหัสที่เคยใช้มาในวันก่อนๆ อีกด้วย

กรอบทางด้านขวา สามกรอบบนแสดงกระดาษจดรหัสของวันก่อนๆ โดยบรรทัดสุดท้ายเป็นคำเฉลยรหัส จงถอดรหัสโจทย์ที่กำหนดให้ พร้อมทั้งอธิบายวิธีการเข้ารหัสและถอดรหัสมาพอสังเขป

\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{tug5-1-4-1.png}
  \includegraphics[height=4cm]{tug5-1-4-2.png}
  \includegraphics[height=4cm]{tug5-1-4-3.png}
  \includegraphics[height=4cm]{tug5-1-4-4.png}
\end{center}
    
\(^1\) สุรพล อินทรเทศ

\end{document}


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ