ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

TUGMOs5 รอบที่ 2



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent ข้อสอบ TUGMOs ครั้งที่ 5 รอบที่ 2\\
\noindent สอบวันที่ 3 ธันวาคม 2550

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 25 มกราคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \  สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip
\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้สัญญา \href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/}{Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% instruction page
\newpage
\setcounter{page}{1}

\noindent
\begin{tabular}{l l} 
\multirow{4}{*}{\includegraphics[width=3.2cm]{tug5_logo.png}} & \small{ข้อสอบแข่งขันในโครงการสรรหานักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์} \\
 & \small{โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา	ประจำปีการศึกษา 2550} \\ 
 & \small{วิชา คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น รอบที่ 2} \\ 
 & \small{สอบวันจันทร์ที่ 3 ธันวาคม 2550  เวลา  09.00-11.40 น.} \\
 & \\
 \hline 
\end{tabular} 

\bigskip

\bigskip

\underline{\textbf{NEED FOR SPEED QUIZ}}

\begin{enumerate}
  \item ให้ \(p\) และ \(q\) เป็นจำนวนเฉพาะบวกที่ทำให้ \(p + q\) และ \(p + 7q\) เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่ จงหาค่าของ \(pq\) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
  
  \item ให้ \(P\) และ \(Q\) เป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน ทั้ง \(P\) และ \(Q\) ต่างก็มีตัวประกอบที่เป็นจำนวนเต็มบวก 6 ตัว และมี 851 เป็นตัวประกอบ จงหาค่าของ \(|P-Q|\)  ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
  
  \item กำหนดให้ \(a\), \(b\) และ \(c\) เป็นรากของสมการ \(3x^3-4x^2+5x-1=0\) จงหาค่าของ \(a^4 + b^4 + c^4\)

  \item กำหนดให้ \(x\), \(y\), \(z\) เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ \(2x+3y+z=13\) และ \(4x^2+9y^2+z^2-2x+15y+3z=82\) จงหาค่าของ \(xy+yz+zx\)
  
  \item กำหนดสี่เหลี่ยม \(ABCD\) เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวด้านละ 2 หน่วย 
  
  \(O_1\) เป็นครึ่งวงกลมที่มี \(CD\) เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและอยู่ภายในสี่เหลี่ยม \(ABCD\)
  
  \(O_2\) เป็นวงกลมที่สัมผัสด้าน \(AB\), \(AD\) และสัมผัสครึ่งวงกลม \(O_1\)
  
  จงหาความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม \(O_2\)
  
  \item ทรงกรวยกลวงตรงอันหนึ่งถูกตัดแบ่งในแนวขนานกับฐานวงกลม ทำให้สองส่วนใหม่มีความจุเท่ากัน จงหาว่าส่วนที่มีพื้นที่ผิวมากกว่ามีพื้นที่ผิวเป็นกี่เท่าของส่วนที่มีพื้นที่ผิวน้อยกว่า (พิจารณาเฉพาะพื้นที่ผิวภายนอก)
  
  \item นายเบนซ์กำลังฝึกซ้อมบาสเกตบอล โดยการยิงลูกในระยะใกล้ลง 1 ครั้ง จะได้ 2 คะแนน และการยิงลูกในระยะไกลลง 1 ครั้ง จะได้ 3 คะแนน ถ้าเขายิงลูกลงอย่างต่อเนื่อง จงหาว่ามีกี่วิธีที่เขาจะสามารถทำคะแนนได้ 24 คะแนน (ลำดับมีความสำคัญ)
  
  \item จากรูป มีสี่เหลี่ยมมุมฉากกี่รูป (สี่เหลี่ยมย่อยในรูปเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=4.5cm]{tug5-2-1-8.png}
  \end{center}
  
\end{enumerate}

\newpage

\underline{\textbf{BALANCE QUIZ}}

\begin{enumerate}
  \item ท่อน้ำ AB มีความยาว 100 เซนติเมตร มีมดตัวหนึ่งยืนอยู่กลางท่อ ในเวลาเริ่มต้นน้ำไหลเข้าท่อจากด้านปลายทั้งสองข้างด้วยอัตราเร็ว 5 เซนติเมตรต่อวินาที ในขณะเดียวกันมดก็เริ่มเดินไปทางปลายท่อด้าน B ด้วยอัตราเร็ว 4 เซนติเมตรต่อวินาที เมื่อไรก็ตามที่มดเดินไปเจอน้ำ มันจะหันหลังกลับแล้วเดินไปทางปลายท่ออีกด้านโดยมีอัตราเร็ว 4 เซนติเมตรต่อวินาทีเท่าเดิม ถ้าคิดว่าเวลามดไม่เสียเวลาในการหันหลังกลับเลย จงหาว่ามันจะเดินได้ระยะทางกี่เซนติเมตร ก่อนที่จะถูกน้ำท่วมตาย
  
  \item ให้ \(x\) เป็นจำนวนซึ่งสอดคล้องกับ \(x-\frac{1}{4-x}=0\) จงหาค่าของ \(x^6+(4-x)^6\)
  
  \item จากรูป วงกลม \(O_1\) ตัดกับวงกลม \(O_2\) ที่จุด \(X\) และจุด \(Y\)  ให้จุด  \(A\), \(C\) อยู่บนวงกลม \(O_1\) และจุด \(B\), \(D\) อยู่บนวงกลม \(O_2\) ดังรูป โดยที่จุด \(A\), \(X\), \(B\) อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน และจุด \(C\), \(Y\), \(D\)    ก็อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน ต่อ \(\overline{AB}\) ไปตัดกับ \(\overline{CD}\) ที่จุด \(P\)  กำหนด \(PB\) = 21 หน่วย, \(PA\) = 56 หน่วย และ \(CD\) = 45 หน่วย 
  
  จงหาความยาว \(PD\)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=4.5cm]{tug5-2-2-3.png}
  \end{center}
  
  \item ในการแข่งขันฟุตบอลรอบ 8 ทีมสุดท้าย มีสโมสรฟุตบอลจากประเทศอังกฤษที่เข้ารอบมา 4 ทีม ถ้าการแข่งขันในรอบ 8 ทีมสุดท้าย จะแข่งขันกันเป็นคู่ๆ โดยการจับสลาก จงหาความน่าจะเป็นที่สโมสรฟุตบอลจากประเทศอังกฤษจะไม่แข่งขันกันเอง
  
  \item นาฬิกาเรือนหนึ่ง เกิดความผิดพลาดในกลไก ทำให้เข็มวินาทีหมุนไม่ครบ 60 ช่องใน 1 นาที แต่เข็มนาทีและชั่วโมงเดินตรงตามเวลาจริง ณ เวลา 12.00 น. เข็มทั้งสามซ้อนทับกันสนิท แต่ก่อนเวลา 12.30 น. มีเวลาหนึ่งที่เข็มทั้งสามทำมุมเท่ากันซึ่งกันและกัน จงหาว่าเข็มวินาทีเดินคลาดเคลื่อนกี่ช่องใน 1 นาที ให้ตอบค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
  
  \item กำหนดสมการ \(2^{2x-1}-k+\frac{1}{2}=3k \cdot 2^{x-2}\) เมื่อ \(x\), \(k\) เป็นจำนวนจริง จงหาผลรวมของค่าคงที่ \(k\) ทั้งหมด ที่ทำให้สมการมีรากเดียว
  
  \item สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีพื้นที่ 64 ตารางหน่วย พิจารณารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีจุดยอด 2 จุด อยู่บนด้านด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม และอีก 2 จุด อยู่บนด้านอีก 2 ด้านที่เหลือของสามเหลี่ยม ด้านละจุด จงหาว่ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังกล่าว จะมีพื้นที่มากที่สุดเท่าไร
  
  \item โต๊ะสนุกเกอร์มีหลุมอยู่ 6 หลุมรอบโต๊ะ บนโต๊ะมีลูกสนุกเกอร์สีเหลือง สีเขียว สีน้ำตาล สีน้ำเงิน สีชมพู และสีดำ อย่างละ 1 ลูก กำหนดให้แทงลูกเหล่านี้ลงหลุมทีละลูกตามลำดับ ปรากฏว่าลูกลงหลุมทุกลูก และความน่าจะเป็นที่ลูกจะลงแต่ละหลุมมีเท่าๆ กัน ความน่าจะเป็นที่จะแทงลูกลงหลุมมุมบนขวาอย่างน้อย 3 ลูก โดยมีลูกสีเหลืองอยู่ด้วย เป็นเท่าไร
\end{enumerate}

\newpage

\underline{\textbf{TUGMOs THE CHAMPION}}

\begin{enumerate}
  \item \textbf{เลขคณิต 80 คะแนน}
  
  A, B และ C วิ่งแข่งกันในสนามรูปวงกลมแห่งหนึ่ง 3 รอบ ในรอบแรก A ต่อให้ B วิ่งไปก่อน 40 เมตร และต่อให้ C วิ่งไปก่อน 4 วินาที ปรากฏว่าทั้ง 3 คน วิ่งครบรอบพร้อมกันพอดี ในรอบที่สอง B วิ่งเร็วกว่าในรอบแรก 20\% และ C วิ่งเร็วกว่าในรอบแรก 25\% ทำให้ทั้ง 3 คนวิ่งครบรอบพร้อมกันอีกครั้ง ในรอบสุดท้าย A, B และ C วิ่งได้ 80\%, 80\% และ 90\% ของความเร็วในรอบแรก ถามว่า เมื่อคนที่ถึงเส้นชัยคนแรกถึงเส้นชัย ระยะทางที่ห่างจากเส้นชัยของอีก 2 คนที่เหลือ รวมกันได้กี่เมตร
  
  \item \textbf{เลขคณิต 100 คะแนน}
  
  ณ สนามหญ้าที่กว้างใหญ่แห่งหนึ่ง นายป๊อบนำวัวของเขาไปผูกไว้กับกำแพงกลางสนาม กำหนดว่ากำแพงมีความยาวน้อยกว่าเชือกที่ใช้ผูก เมื่อเวลาผ่านไป นายป๊อบกลับมาดูพบว่า วัวของเขาได้กินหญ้าไปได้มากที่สุดเท่าที่มันจะกินได้ คือ \(\frac{211 \pi}{2}\) ตารางหน่วย ถ้าเชือกมีความยาวเป็นจำนวนนับ และจุดที่ผูกเชือกแบ่งความยาวกำแพงออกเป็นจำนวนนับทั้งคู่ จงหาว่ากำแพงถูกแบ่งเป็นอัตราส่วนเท่าไร (ตอบแบบ สั้น : ยาว)
  
  \item \textbf{เลขคณิต 130 คะแนน}
  
  สุดหล่อสามารถทำงาน A เสร็จใน 18 วัน, งาน B เสร็จใน 19 วัน และงาน C เสร็จใน 24 วัน แสนดีสามารถทำงาน A เสร็จใน 21 วัน, งาน B เสร็จใน 21 วัน และงาน C เสร็จใน 27 วัน มีคนจ้างให้สุดหล่อและแสนดีร่วมมือกันทำโครงงาน X ที่ประกอบด้วยงาน A 1 ชิ้น และงาน C 1 ชิ้น หลังจากทำเสร็จแล้ว ก็มีคนจ้างให้ทั้งสองคนทำโครงงาน Y ที่ประกอบด้วยงาน B 1 ชิ้น และงาน C 1 ชิ้น ถ้าทั้ง 2 คน สามารถทำโครงงาน X และ Y ให้เสร็จโดยใช้เวลาน้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ แล้วทั้ง 2 คนใช้เวลาทำโครงงาน Y นานกว่าโครงงาน X กี่วัน (ตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ)
  
  \item \textbf{พีชคณิต 80 คะแนน}
  
  ให้ \(x\) และ \(y\) สอดคล้องกับ \(\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{1}{2}\) จงหาค่าของ \(\frac{x^4+3x^3y-2x^2y^2+3x^3+y^4}{x^4+x^2y^2+y^4}\)
  
  \item \textbf{พีชคณิต 100 คะแนน}
  
  จงหาสัมประสิทธิ์หน้าพจน์ \(x^{48}\) ในพหุนาม \((x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) \ldots (x + 50)\)
  
  \newpage
  
  \item \textbf{พีชคณิต 130 คะแนน}
  
  ให้ \(f(n)\) เป็นพหุนามในรูป \(a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n\) เมื่อ \(n\) เป็นจำนวนนับหรือ 0 และ \(a_0, a_1, a_2, \ldots , a_n\) เป็นจำนวนจริง 
  
  กำหนด \(\displaystyle \sum_{p}^{q}f(x) = f(p) + f(p+1) + f(p+2) + \ldots + f(q)\) โดยที่ \(p \leq q\)
  
  ถ้า  \(\displaystyle \sum_{4}^{7}f(x) = 62\), \(\displaystyle \sum_{9}^{12}f(x)   = 122\), \(\displaystyle \sum_{13}^{17}f(x) = 220\)
  
  และค่าของ \(\displaystyle \sum_{1}^{20}f(x) \) มีเพียงค่าเดียวที่เป็นไปได้
  
  จงหาค่าของ \(f(100)\)
  
  \item \textbf{เรขาคณิต 80 คะแนน}
  
  แผนที่ของดาว TUGMOs สามารถวาดบนระบบพิกัดสองมิติได้ บ้านของน้องแป้งอยู่ที่จุด \((0, 0)\) และโรงเรียนอยู่ที่จุด \((3, 3)\) น้องแป้งต้องการเดินจากบ้าน ไปที่จุดใดๆ บนถนนที่แทนด้วยเส้นตรง \(y = 2\) จากนั้น ไปยังจุดใดๆ บนแม่น้ำที่แทนด้วยเส้นตรง \(y = 1\) จากนั้นจึงไปโรงเรียน น้องแป้งจะต้องเดินเป็นระยะทางสั้นที่สุดกี่หน่วย
  
  \item \textbf{เรขาคณิต 100 คะแนน}
  
  ให้ \(\square ABCD\) เป็นสี่เหลี่ยมคางหมูที่มี \(\overline{AB} // \overline{CD}\) กำหนด \(AB : CD = 2 : 3\) ให้ \(P\) และ \(Q\) เป็นจุดบนด้าน \(\overline{AD}\) และ \(\overline{BC}\) ตามลำดับ โดยที่ \(AP : PD = 1 : 3\) และ \(BQ : QC = 3 : 1\) จงหาอัตราส่วนของพื้นที่ \(\square ABQP\) ต่อพื้นที่ \(\square CDPQ\)
  
  \item \textbf{เรขาคณิต 130 คะแนน}

  จากจุด \((1, 1)\) ลากเส้นตรงที่แตกต่างกัน 2 เส้น ไปสัมผัสเส้นกราฟ \(y = x^2 + x + 3\) จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุด \((1, 1)\) และจุดสัมผัสทั้งสอง (ตอบเป็นตารางหน่วย)
  
  \item \textbf{การนับและความน่าจะเป็น 80 คะแนน}
  
  เกมโชว์รายการ ``แผ่นป้ายมหัศจรรย์บรรลัยกัลป์'' มีแผ่นป้าย 10 แผ่น ซึ่งจะมีแผ่นป้ายรูปม้า 3 แผ่นอยู่ในนั้น ให้ผู้เข้าแข่งขันเลือกแผ่นป้ายได้ 4 แผ่น ถ้าเลือกได้แผ่นป้ายรูปม้าอย่างน้อย 2 แผ่น จะได้รางวัลพิเศษ จงหาความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าแข่งขันจะได้รางวัลพิเศษ
  
  \newpage
  
  \item \textbf{การนับและความน่าจะเป็น 100 คะแนน}
  
  จากรูปเป็นกระดานตะปูรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาจำนวนสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากการเชื่อมจุด 3 จุดใดๆ ในรูป และมีพื้นที่เท่ากับ 3 ตารางหน่วย (รูปที่เกิดจากการสะท้อน การหมุน หรือการเลื่อนขนานของอีกรูปหนึ่ง ถือว่าเป็นรูปใหม่และไม่ซ้ำกับรูปเดิม)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=4.5cm]{tug5-2-3-11.png}
  \end{center}
  
  \item \textbf{การนับและความน่าจะเป็น 130 คะแนน}
  
  กำหนดตารางขนาด 2007 x 2550 ช่อง นำกระจกเงาที่มีความยาว 2007 ช่องตารางมา 2 บาน และความยาว 2550 ช่องตารางมา 2 บาน มาวางเป็นกรอบของตารางดังกล่าว เจาะรูเล็กๆ ที่มุมหนึ่งของกรอบ และฉายแสงในทิศทำมุม 45 องศากับกระจกเงา แสงจะเดินทางเป็นเส้นตรง และสะท้อนตามกฎของสเนลล์ (ขนาดของมุมตกกระทบเท่ากับขนาดของมุมสะท้อน) ถ้าให้ \(A\) แทนจำนวนช่องตารางที่แสงนี้ผ่านก่อนออกจากตาราง จงหาค่าของ \(\sqrt{A-(3)(11)(171)(223)}\)
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=4.5cm]{tug5-2-3-12.png}
  \end{center}
  
  \item \textbf{คำถามสำรอง 1}
  
  ให้ \(x\) เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ \(2x - 5\) หาร \(x^2 + 2x + 9\) ลงตัว เมื่อนำผลรวมของค่า \(x\) ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมาหารด้วย 10 จะเหลือเศษเท่าใด
  
  \item \textbf{คำถามสำรอง 2}
  
  กล่องใบหนึ่งมีฉลากหมายเลข 1 ถึง 10 สุ่มหยิบฉลากมา 4 ใบพร้อมกัน ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ฉลากหมายเลขน้อยกว่า 4 สองใบ และหมายเลขมากกว่า 6 หนึ่งใบ เป็นเท่าไร
  
  \item \textbf{คำถามสำรอง 3}
  
  กำหนดวงกลม O มา 1 วง วาดวงกลม 3 วง ที่มีขนาดเท่ากันลงไปในวงกลม O โดยให้แต่ละวงสัมผัสวงกลม O แบบภายใน และสัมผัสกันเองภายนอก วาดวงกลม P ให้สัมผัสภายนอกกับทั้ง 3 วงกลม ดังรูป จงหาว่าพื้นที่วงกลม O เป็นกี่เท่าของพื้นที่วงกลม P
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=4.5cm]{tug5-2-3-15.png}
  \end{center}
  
  \item \textbf{คำถามสำรอง 4}
  
  จากรูปเป็นกระดานตะปูรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จงหาจำนวนส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายทั้งสองเป็นจุดบนกระดาน และผ่านจุดอย่างน้อย 3 จุด
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=4.5cm]{tug5-2-3-16.png}
  \end{center}
\end{enumerate}

\end{document}


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ