ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

TUGMOs6 รอบที่ 1



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\newcommand{\choices}[4]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent ข้อสอบ TUGMOs ครั้งที่ 6 รอบที่ 1

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 12 เมษายน 2552

\bigskip

\noindent \copyright \  สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip
\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% instruction page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\setcounter{page}{1}

\noindent
\begin{tabular}{l r} 
\multirow{4}{*}{\includegraphics[width=2cm]{prakeaw.jpg} \   \includegraphics[width=2.4cm]{tug6_logo.png}} & \small{โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา} \\
 & \small{โครงการสรรหานักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ครั้งที่ 6} \\
 & \small{\bf ข้อสอบรอบที่ 1 (ประเภทบุคคล)} \\ 
 & \small{เวลาสอบ  09.00 น. - 12.00 น.} \\
 & \\
 \hline 
\end{tabular} 

\bigskip

\bigskip

\begin{center}
\framebox{
  \parbox{16cm}{

    \noindent \textbf{คำชี้แจงในการสอบ}

    \begin{enumerate} 
      \item แบบทดสอบฉบับนี้มีทั้งหมด 30 ข้อ โดยแบ่งออกเป็น
      
      \begin{tabular}{ l l l l} 
        ตอนที่ 1 ข้อ 1-10 & เลือกคำตอบ & ข้อละ 2 คะแนน & {\bf รวม 20 คะแนน} \\
        ตอนที่ 2 ข้อ 11-20 & เติมคำตอบ & ข้อละ 3.5 คะแนน & {\bf รวม 35 คะแนน} \\
        ตอนที่ 3 ข้อ 21-30 & เติมคำตอบ & ข้อละ 4.5 คะแนน & {\bf รวม 45 คะแนน} \\
        & & \multicolumn{2}{r}{\bf รวมทั้งหมด 100 คะแนน}
      \end{tabular}
      
      \item ให้เวลาในการสอบตั้งแต่ 9.00 น. - 12.00 น. รวม 3 ชั่วโมง
      \item ในการตอบข้อสอบแบบเติมคำตอบ ต้องตอบให้อยู่ในรูปที่ง่ายที่สุดเท่านั้น
      \item ในการตอบข้อสอบแบบเติมคำตอบ ถ้าข้อใดในคำตอบมีจำนวนอตรรกยะ เช่น \(\pi, \sqrt{2}, \sqrt{3}\) ต้องตอบให้ติดอยู่ในรูปของจำนวนนั้น ห้ามใช้ค่าประมาณ
      \item ในการตอบข้อสอบแบบเติมคำตอบ จะใส่หน่วยหรือไม่ใส่ก็ได้
      \item นักเรียนสามารถทดลงในข้อสอบฉบับนี้ได้ และนักเรียนจะได้รับกระดาษทดคนละ 2 แผ่น หากไม่พอสามารถขอเพิ่มจากกรรมการคุมสอบได้
      \item หลังจากสอบนักเรียนสามารถนำข้อสอบฉบับนี้กลับไปได้
      \item หากมีข้อสงสัยใดๆ ให้ยกมือขึ้นเหนือศีรษะเพื่อสอบถามจากกรรมการคุมสอบ
    \end{enumerate}
  }
}
\end{center}

% problems
\newpage

\underline{\textbf{ตอนที่ 1 (ข้อ 1-10)}} กากบาทตัวเลือกที่ถูกต้องลงในกระดาษคำตอบ (ข้อละ 2 คะแนน)

\begin{enumerate}
  \item กำหนดให้ \(x \oplus y = \frac{3x + 5y}{4+3xy}\) สำหรับทุกจำนวนจริง \(x,y\)\\
  จงหาค่า \(a\) ที่ทำให้ \(4 \oplus a = \frac{1}{2}\)
  
  \choices{10}{12}{14}{16}
  
  \item ให้ \(\alpha\) และ \(\beta\) เป็นรากของสมการ \(x^2 - 7x + 10 = 0\) จงหาค่าของ \(\alpha^5 + \beta^5\)
  
  \choices{1357}{1573}{3157}{3571}
  
  \item มิองเริ่มออกเดินจากจุดเริ่มต้น โดยจะเดินไป  ก้าว แล้วเลี้ยว แล้วเดินต่ออีก  ก้าว แล้วเลี้ยว สลับกันไปเรื่อยๆ โดยทิศทางของการเลี้ยวในแต่ละครั้งจะเป็นลำดับดังนี้ \\
  ขวา, ขวา, ซ้าย, ขวา, ขวา, ซ้าย, ขวา, ขวา, ซ้าย, \ldots \\
  ถ้าการเดินของมิองมีความยาวก้าวละ 2 ฟุต จงหาว่าเมื่อเดินไป 2008 ก้าว มิองจะอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นกี่ฟุต
  
  \choices{2 ฟุต}{\(2\sqrt{2}\) ฟุต}{4 ฟุต}{\(2\sqrt{5}\) ฟุต}
  
  \item มีชุดอันดับ \((a,b,c,d)\) อยู่ทั้งหมดกี่ชุด ที่ \(a,b,c,d\)  เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าไม่เกิน 12 และ \(a+2b+3c+4d\) หารด้วย 12 ลงตัว
  
  \choices{648 ชุด}{960 ชุด}{1320 ชุด}{1728 ชุด}

  \item \ \\
  \begin{tabular}{c c c c c c c c}
    & T & U & G & M & O & S & \\
    & & T & R & I & A & M & + \\
    & & & U & D & O & M & \\
    \hline
    1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 7 & 7 & \\
    \hline
  \end{tabular}
  
  ถ้าอักษรแต่ละตัวแทนเลขโดด 0-9 ที่แตกต่างกัน จะมีชุดคำตอบที่สอดคล้องกับผลบวกดังกล่าวทั้งหมดกี่ชุด
  
  \choices{4 ชุด}{8 ชุด}{12 ชุด}{16 ชุด}
  
  \item \(ABC\) เป็นสามเหลี่ยม ให้ \(H\) เป็นจุดบนด้าน \(BC\) ที่ทำให้ \(AH\) ตั้งฉากกับ \(BC\) \\
  ถ้า \(AH = 15, BH = 3\) และ \(CH = 10\) จงหาขนาดของมุม \(B \hat A C\)

  \choices{\(18 ^ \circ\)}{\(30 ^ \circ\)}{\(36 ^ \circ\)}{\(45 ^ \circ\)}
  
  \item จงหาเศษเหลือจากการหาร \(16^{16^1} + 16^{16^2} + 16^{16^3} + \ldots + 16^{16^{2551}}\) ด้วย 13
  
  \choices{2}{3}{8}{9}
  
  \newpage
  
  \item ให้ \(ABC\) เป็นสามเหลี่ยมที่ \(AB=9\) และ \(AC=7\) ให้ \(D\) เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน \(BC\) \\
  ให้ \(X\) เป็นจุดบนด้าน \(AB\) ซึ่ง \(DX\) ตั้งฉากกับ \(AB\) \\
  ให้ \(Y\) เป็นจุดบนด้าน \(AC\) ซึ่ง \(DY\) ตั้งฉากกับ \(AC\) \\
  ถ้า \(AX=6\) จงหาความยาวของ \(AY\)

  \choices{\(\frac{34}{7}\)}{\(\frac{36}{7}\)}{\(\frac{38}{7}\)}{\(\frac{40}{7}\)}
  
  \item มีอะมีบาอยู่ 4 สี คือสีแดง สีเขียว สีเหลือง และสีน้ำเงิน เมื่ออะมีบาสองตัวที่มีสีแตกต่างกันมาเจอกัน อะมีบาทั้งสองจะรวมตัวกันกลายเป็นอะมีบาตัวเดียว โดยอะมีบาตัวใหม่ที่เกิดขึ้นจะมีสีตามเงื่อนไขต่อไปนี้
  
  \begin{itemize}
    \item อะมีบาสีแดงรวมตัวกับสีเขียวจะกลายเป็นสีน้ำเงิน
    \item อะมีบาสีแดงรวมตัวกับสีเหลืองจะกลายเป็นสีแดง
    \item อะมีบาสีแดงรวมตัวกับสีน้ำเงินจะกลายเป็นสีเหลือง
    \item อะมีบาสีเขียวรวมตัวกับสีเหลืองจะกลายเป็นสีเขียว
    \item อะมีบาสีเขียวรวมตัวกับสีน้ำเงินจะกลายเป็นสีแดง
    \item อะมีบาสีเหลืองรวมตัวกับสีน้ำเงินจะกลายเป็นสีน้ำเงิน
  \end{itemize}
  
  ในตอนแรกมีอะมีบาสีแดง สีเขียว สีเหลือง และสีน้ำเงิน อยู่จำนวน 96, 97, 98 และ 99 ตัวตามลำดับ ถ้าอะมีบารวมตัวกันไปเรื่อยๆ จนในที่สุดเหลืออยู่เพียงตัวเดียว จงหาว่าอะมีบาตัวสุดท้ายมีสีอะไร
  
  \choices{สีแดง}{สีเขียว}{สีเหลือง}{สีน้ำเงิน}
  
  \item กำหนด \(H_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}\) ถ้าทราบว่า \(7.4854 < H_{1000} < 7.4855\) \\
  จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าน้อยกว่า \(H_1 + H_2 + H_3 + \ldots + H_{1000}\)
  
  \choices{6490}{6492}{6494}{6496}
\end{enumerate}

\newpage

\underline{\textbf{ตอนที่ 2 (ข้อ 11-20)}} เติมคำตอบลงในกระดาษคำตอบ (ข้อละ 3.5 คะแนน)

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{10}
  \item จงหาชุดของจำนวนเฉพาะ \(p,q,r,s\) ทั้งหมดที่ \(p \geq q \geq r \geq s\) และ \\ \(pqrs = p + q + r + s + 1834\)

  \item ให้ \(a > b > c > d > 0\) เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ \\
  \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} = \frac{13}{2}\) และ \(\frac{a}{c} + \frac{c}{a} + \frac{b}{d} + \frac{d}{b} = 9\) \\
  จงหาค่าของ \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\)
  
  \item {\bf ช้าง} เป็นหมากตัวหนึ่งในหมากรุกเกาหลี มีวิธีการกินหมากตัวอื่นดังนี้
  
  \begin{itemize}
    \item เดินในแนวตรง 3 ช่อง แล้วเลี้ยวซ้ายหรือเลี้ยวขวา แล้วเดินไปอีก 2 ช่อง
  \end{itemize}

  ตัวอย่างเช่นในภาพ ช้างที่อยู่ในช่อง \(\oplus\) สามารถกินหมากที่อยู่ในช่องที่มีเครื่องหมาย X ได้

  \begin{center}
    \includegraphics[height=5.5cm]{tug6-1-13.png}
  \end{center}

  จงหาว่า เราสามารถวาง {\bf ช้าง} บนกระดานขนาด \(6 \times 6\) ได้อย่างมากกี่ตัว โดยที่ไม่มีช้างสองตัวใดๆ ที่กินกันได้ 

  \item ให้ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริง ซึ่ง \((2a+b)^2 + \left( a + \frac{1}{3} \right) ^2 + \left( b + \frac{4}{3} \right) ^2 = \frac{2}{3}\) \\
  จงหาค่าของ \((2b+a)^2 + \left( b + \frac{1}{3} \right) ^2 + \left( a + \frac{4}{3} \right) ^2\)

  \newpage
  
  \item จงหาปริมาตรของรูปทรงที่เกิดขึ้นจากการพับกระดาษในรูปตามแนวเส้นประ โดยตัวเลขที่กำกับอยู่ในรูป หมายถึงความยาวของแต่ละด้าน

  \begin{center}
    \includegraphics[height=6cm]{tug6-1-15.png}
  \end{center}

  \item จงหาเศษเหลือจากการหาร \(1053^3 + 392^3 + 378^3\) ด้วย 2579 

  \item \(ABC\) เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ให้ \(P\) เป็นจุดที่อยู่บนด้าน \(AC\) โดยที่ \(P \hat BC = 23^\circ\) ต่อรังสี \(BP\) ไปจนถึงจุด \(Q\) โดยที่ \(P \hat CQ = 67^\circ\) จงหาขนาดของมุม \(A \hat QP\)

  \item ไมและซายูริเล่นเกมกัน โดยทั้งคู่ผลัดกันเขียนจำนวนจริงใดๆ ที่มีค่าอยู่ในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 9 ลงบนกระดาน ซึ่งไมเป็นฝ่ายเริ่มก่อน ใครที่เขียนจำนวนลงไปแล้วทำให้ผลบวกของกำลังสองของทุกจำนวนบนกระดานมีค่าเกิน \(k\) จะเป็นฝ่ายแพ้ \\
  ถ้า \(k\) เป็นจำนวนนับที่ \(k \geq 2008\) จงหาค่า \(k\) ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ซายูริเป็นฝ่ายชนะเมื่อทั้งสองฝ่ายต่างเล่นด้วยแผนการที่ดีที่สุด

  \item จงหาคู่อันดับของจำนวนนับ \((n,k)\) ทั้งหมดที่ทำให้ \(\frac{2(kn-1)}{n+1}\) และ \(\frac{6kn-1}{2k-1}\) เป็นจำนวนเต็มทั้งสองจำนวน

  \item สามารถใส่เลข 1-16 ลงในช่องที่อยู่ในภาพได้ทั้งหมดกี่วิธี โดยเลขในแต่ละช่องจะต้องไม่ซ้ำกัน และเลขในช่องที่ท้ายลูกศรจะต้องมีค่ามากกว่าเลขในช่องที่หัวลูกศร

  \begin{center}
    \includegraphics[height=2.5cm]{tug6-1-20.png}
  \end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\underline{\textbf{ตอนที่ 3 (ข้อ 21-30)}} เติมคำตอบลงในกระดาษคำตอบ (ข้อละ 4.5 คะแนน)

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{20}
  \item ให้ \(ABCD\) เป็นสี่เหลี่ยมที่ \(AB = \sqrt 5\), \(BC = \sqrt {13}\), \(CD = \sqrt{17}\), \(DA = \sqrt {29}\) และ \(AC = \sqrt {10}\) \\
  จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม \(ABCD\)

  \item มีจำนวนเต็มบวก \(n\) ทั้งหมดกี่จำนวน ที่ \(1 \leq n \leq 1,000,000\) และ \(n^n\) หารด้วย \(n^2 + 1\) เหลือเศษเป็นกำลังสองสมบูรณ์

  \item ให้ \(A = \frac{1}{\sqrt[3]{1,000}} + \frac{1}{\sqrt[3]{1,001}} + \frac{1}{\sqrt[3]{1,002}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt[3]{1,000,000}}\) \\
  จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าน้อยกว่า \(\frac{A}{4}\)
  
  \item ให้ \(x,y\) เป็นจำนวนเต็มบวกที่ \(\frac{xy}{x + y} > 7\) \\ 
  จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ \(\frac{xy}{x + y}\)

  \item เกมคอมพิวเตอร์เกมหนึ่งมีกติกาคือ
    
    \begin{itemize}
      \item มีตารางขนาด \(4 \times 4\) และมีหมากสีแดง สีเหลือง สีเขียว และสีน้ำเงินอยู่สีละ 4 ตัว
      \item ผู้เล่นจะต้องนำหมากทั้งหมดไปวางในตาราง โดยวางช่องละ 1 ตัว
      \item ผู้เล่นจะได้คะแนนเท่ากับจำนวนของแถวหรือหลักที่มีหมากครบทั้ง 4 สี สีละ 1 ตัว
    \end{itemize}
    
  ถ้าโคโตมิลองเล่นเกมนี้ไปเรื่อยๆ จนกระทั่งวางหมากครบทุกแบบที่เป็นไปได้ แบบละหนึ่งครั้งคะแนนเฉลี่ยที่โคโตมิได้จะเป็นเท่าไร (หมากสีเดียวกันถือว่าเหมือนกัน)
  
  \item ให้ \(a,b,c\) เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่แตกต่างกัน ซึ่ง \(ab + bc + ca > 0\) \\
  จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ \(\frac{\left( a^2 + b^2 + c^2 \right)^4 }{\left( ab + bc + ca \right)\left( a - b \right)^2 \left( b - c \right)^2 \left( c - a \right)^2 }\)

  \item ให้ \(ABC\) เป็นสามเหลี่ยมที่ \(B \hat AC = 73^ \circ \) และ \(A \hat BC > B \hat CA\) ให้ \(P\) เป็นจุดบนด้าน \(AC\) ที่ทำให้ \(P \hat BC = B \hat CA\) และให้ \(Q\) เป็นจุดบนด้าน \(AB\) โดยที่ \(BP\) และ \(CQ\) ตัดกันที่ \(X\) \\
  ถ้า \(CX = AP + PX\) จงหาขนาดของมุม \(B \hat XQ\)

  \newpage

  \item อาคารหลังหนึ่งมี \(3\) ชั้น และมีห้องอยู่ชั้นละ \(9\) ห้อง ซึ่งห้องแต่ละห้องจะมีหมายเลขกำกับอยู่ดังรูป ในแต่ละห้องจะมีหลอดไฟอยู่ดวงหนึ่ง และมีสวิตซ์อยู่ตัวหนึ่ง
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=10cm]{tug6-1-28.png}
  \end{center}
  
  \begin{itemize}
    \item \underline{\bf นิยาม} การเปลี่ยนสถานะของหลอดไฟ หมายความว่า การทำให้หลอดไฟที่เปิดอยู่เปลี่ยนเป็นปิด และหลอดไฟที่ปิดอยู่เปลี่ยนเป็นเปิด
    \item การสับสวิตซ์จะมีเงื่อนไขคือ เมื่อสับสวิตซ์ในห้องหนึ่ง จะทำให้หลอดไฟในห้องนั้น และในห้องที่อยู่ติดกับห้องนั้นทั้งในด้านซ้าย ขวา หน้า หลัง บน และล่าง เกิดการเปลี่ยนสถานะ (เช่น ถ้าสับสวิตซ์ในห้อง 13 จะทำให้หลอดไฟในห้อง 4, 10, 13, 14, 16 และ 22 เปลี่ยนสถานะ)
  \end{itemize}
  
  ถ้าในตอนแรก หลอดไฟในทุกห้องปิดอยู่ และหลังจากสับสวิตซ์ไปเรื่อยๆ ระยะหนึ่ง พบว่ามีหลอดไฟเพียงดวงเดียวที่เปิดอยู่ คือหลอดไฟในห้อง \(A\) \\
  จงหาผลบวกของค่า \(A\) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
  
  \item ให้ \(x,y,z\) เป็นจำนวนจริงใดๆ \\
  จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ \(\frac{x^2}{\left( 4x - 3y - z \right)^2 } + \frac{y^2}{\left( 4y - 3z - x \right)^2} + \frac{z^2}{\left( {4z - 3x - y} \right)^2}\)

  \item จงหาจำนวนนับ \(n\) ที่มากที่สุด ที่มีสมบัติว่า เราสามารถแบ่งจำนวนนับตั้งแต่ \(1\) ถึง \(n\) ออกเป็นสองกลุ่มได้ โดยที่ผลบวกของจำนวนสองจำนวนใดๆ ที่อยู่ในกลุ่มเดียวกันจะต้องไม่เป็นกำลังสามสมบูรณ์
\end{enumerate}

\end{document}


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ