ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

TUGMOs6 รอบที่ 2



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\newcommand{\choices}[4]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent ข้อสอบ TUGMOs ครั้งที่ 6 รอบที่ 2

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 12 เมษายน 2552

\bigskip

\noindent \copyright \ สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 นักเรียนในโครงการพัฒนาศักยภาพนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip

\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% instruction page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\setcounter{page}{1}

\noindent
\begin{tabular}{l r} 
\multirow{4}{*}{\includegraphics[width=2cm]{prakeaw.jpg} \  \includegraphics[width=2.4cm]{tug6_logo.png}} & \small{โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา} \\
  & \small{โครงการสรรหานักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ครั้งที่ 6} \\
  & \small{\bf ข้อสอบรอบที่ 2 (ประเภททีม)} \\ 
  & \small{เวลาสอบ 14.45 น. - 16.15 น.} \\
  & \\
  \hline 
\end{tabular} 

\bigskip

\bigskip

\begin{center}
\framebox{
  \parbox{16cm}{
    \noindent \textbf{คำชี้แจงในการสอบ}

    \begin{enumerate} 
      \item ข้อสอบฉบับนี้มีทั้งหมด 25 ข้อ   
       \item มีเวลาในการแข่งขันตั้งแต่ 14.45 น. - 16.15 น. รวม 1 ชั่วโมง 30 นาที
       \item นักเรียนสามารถส่งคำตอบของแต่ละข้อได้ตลอดเวลา และจะส่งคำตอบของข้อใดก่อนก็ได้
       ไม่จำเป็นต้องเรียงลำดับ โดยในการส่งคำตอบ ให้เขียนคำตอบลงในกระดาษคำตอบ แล้วส่งให้กรรมการคุมสอบที่ประจำที่โต๊ะของนักเรียน
       \item การตอบถูกจะได้คะแนนเท่ากับคะแนนเต็มของข้อนั้นในขณะนั้น
       โดยในตอนแรก คำถามแต่ละข้อมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน และสำหรับคำถามแต่ละข้อ เมื่อมีทีมที่ตอบคำถามข้อนั้นถูก คะแนนเต็มของข้อนั้นจะลดลงเรื่อยๆ ครั้งละ 1 คะแนน (เช่น ทีมที่ตอบข้อนั้นถูกเป็นทีมแรกจะได้ 20 คะแนน ทีมที่สองจะได้ 19 คะแนน ทีมที่สามจะได้ 18 คะแนน และเป็นเช่นนี้ไปเรื่อยๆ)
       \item การตอบผิดจะถูกหักครั้งละ 5 คะแนน
       \item การส่งคำตอบซ้ำในข้อที่เคยตอบถูกไปแล้วจะถูกหักครั้งละ 5 คะแนน
       \item ในการตอบคำถามแต่ละข้อ ต้องตอบให้อยู่ในรูปที่ง่ายที่สุดเท่านั้น
       \item ในการตอบคำถามแต่ละข้อ ถ้าข้อใดในคำตอบมีจำนวนอตรรกยะ เช่น \( \pi ,\sqrt 2 ,\sqrt 3 \) ต้องตอบให้ติดอยู่ในรูปของจำนวนนั้น ห้ามประมาณค่า
       \item ในการตอบคำถามแต่ละข้อ จะใส่หน่วยหรือไม่ใส่ก็ได้
       \item นักเรียนสามารถทดลงในข้อสอบฉบับนี้ได้ และนักเรียนจะได้รับกระดาษทดคนละ 2 แผ่น 
       หากไม่พอสามารถขอเพิ่มจากกรรมการคุมสอบได้
       \item หลังจากการแข่งขัน นักเรียนสามารถนำข้อสอบฉบับนี้กลับไปได้
       \item หากมีข้อสงสัยใดๆ ให้ถามกรรมการคุมสอบที่ประจำที่โต๊ะของนักเรียน
       \item รางวัลที่ 1, 2 และ 3 จะมีทีมที่ได้รับเพียงรางวัลละ 1 ทีมเท่านั้น หากเกิดกรณีที่มีทีมที่ได้คะแนนเท่ากัน จะนำคะแนนรวมของสมาชิกในทีมในรอบแรกมาพิจารณาอันดับ
     \end{enumerate}
  }
}
\end{center}

% problems
\newpage

\begin{enumerate}
  \item ในเวลา \(20.08\) น. เข็มสั้นและเข็มยาวของนาฬิกาทำมุมป้านกันกี่องศา

  \item มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่หาร \(192^3 - 113^3 - 79^3\) ลงตัว

  \item ตึก \(A\) และตึก \(B\) ตั้งอยู่ใกล้กัน โดยผนังของตึก \(B\) เป็นกระจกเงา โคนาตะ คางามิ และสึคาสะยืนอยู่ริมหน้าต่างของตึก \(A\) แต่ยืนอยู่คนละชั้นกัน โคนาตะมองไปที่ผนังของตึก \(B\) เห็นเงาสะท้อนของคางามิเป็นมุมเงย \(45\) องศา และเห็นเงาสะท้อนของสึคาสะเป็นมุมก้ม \(30\) องศา ถ้าคางามิและสึคาสะอยู่ห่างกัน \(72 + 24\sqrt 3 \) เมตร จงหาว่าตึก \(A\) และตึก \(B\) ตั้งอยู่ห่างกันกี่เมตร

  \item ให้ \(ABC\) เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม \(A\hat BC\) เป็นมุมฉาก ให้ \(P\) เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน \(AC\) และ \(Q\) เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง \(PC\) ที่ทำให้ \(P\hat BQ = B\hat AC\) ต่อรังสี \(BQ\) ไปจนถึงจุด \(R\) โดยที่ \(Q\hat AR = 20^ \circ \) จงหาค่าของมุม \(B\hat AC\) ที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ทำให้สามเหลี่ยม \(ABR\) เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

  \item มีลูกเต๋าอยู่ \(2\) ลูก ลูกหนึ่งเป็นลูกเต๋าปกติ ส่วนอีกลูกหนึ่งเป็นลูกเต๋าถ่วง โดยโอกาสที่จะออกหน้าที่มี \(n\) แต้ม มีค่าเท่ากับ \(\frac{n}{21}\) สำหรับทุก \(n = 1,2,3,4,5,6\) \\
  จงหาความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋า \(2\) ลูกนี้ แล้วได้แต้มรวมเป็น \(3\), \(6\) หรือ \(9\)

  \item ให้ \(P\) เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม \(ABC\) ที่ทำให้ \(P\hat BA = P\hat CA = 45^ \circ \), \(P\hat BC = 25^ \circ \)และ \(P\hat CB = 20^ \circ \) จงหาขนาดของมุม \(P\hat AC\)

  \item สำหรับจำนวนนับ \(n\) ใดๆ นำ \(n\) มาเขียนเป็นเลขฐานเจ็ด \\
  ให้ \(f\left( n \right)\) เป็นตัวเลขที่ได้ โดยพิจารณาในฐานสิบ (เช่น \(39\) สามารถนำมาเขียนในฐานเจ็ดได้คือ \(39 = 54_7 \) ดังนั้น \(f\left( 39 \right) = 54\)) \\
  จงหาจำนวนนับ \(n\) ทั้งหมดที่ \(n = 2f\left( n \right) - 167\)

  \item ให้ \(x_1 ,x_2 ,x_3 , \ldots ,x_{10} \) เป็นจำนวนจริงไม่ติดลบใดๆ ที่ \(x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_{10} = 1\) \\
  ให้ \(S = \{ x_1 + x_2 + x_3 \), \(x_2 + x_3 + x_4 \), \(x_3 + x_4 + x_5 \), \( \ldots \), \(x_8 + x_9 + x_{10} \} \) \\
  ให้ \(M\) เป็นสมาชิกที่มีค่ามากที่สุดของ \(S\) และให้ \(m\) เป็นสมาชิกที่มีค่าน้อยที่สุดของ \(S\)

  \begin{enumerate}[i)]
    \item จงหาค่า \(M\) ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
    \item จงหาค่า \(m\) ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้
  \end{enumerate}

  \item ให้ \(a_1 ,a_2 ,a_3 , \ldots \) เป็นลำดับของจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข \\
  \(a_{2n} = a_n + 1\) และ \(a_{2n + 1} = a_n - 1\) ทุกจำนวนนับ \(n\) \\
  ถ้า \(a_{2008} = 2551\) จงหาค่าของ \(a_{2551} \)
  
  \item นิยามการดำเนินการ \( \oplus \) ดังนี้
  
  \(x \oplus y = \left( {x - 1} \right) \oplus \left( {x \oplus \left( {y - 1} \right)} \right)\) 	สำหรับทุกจำนวนนับ \(x \geq 2\), \(y \geq 2\)
  
  \(x \oplus 1 = 1 \oplus x = x + 1\) สำหรับทุกจำนวนนับ \(x\)
  
  จงหาค่าของ \(5 \oplus 2\)

  \item มีหินอยู่กองหนึ่ง จำนวน \(n\) ก้อน เซ็ตจังและโคโนจังเล่นเกมกัน โดยทั้งคู่ผลัดกันหยิบหินจำนวนหนึ่งออกจากกอง ซึ่งจำนวนหินที่หยิบในแต่ละครั้งจะต้องอยู่ในรูป \(2^k \) เมื่อ \(k\) เป็นจำนวนเต็มที่ \(k \geq 0\) และเซ็ตจังเป็นฝ่ายเริ่มก่อน ใครที่หยิบหินจนหมดกองได้จะเป็นฝ่ายชนะ \\
  จงหาว่ามีจำนวนเต็ม \(n\) ทั้งหมดกี่ค่าที่ \(1001 \leq n \leq 2000\) และทำให้เซ็ตจังเป็นฝ่ายชนะ เมื่อทั้งสองฝ่ายต่างเล่นด้วยแผนการที่ดีที่สุด

  \item ให้ \(x_0 ,x_1 ,x_2 , \ldots ,x_{2008} \) เป็นลำดับของจำนวนจริงที่ \(x_0 = x_{2008} \) \\
  และ \(x_k x_{k - 1} = 2\left( {x_k - x_{k - 1} } \right)^2 \) สำหรับทุกจำนวนนับ \(k \leq 2008\) \\
  ถ้ามีจำนวนนับ \(n \leq 2008\) ที่ \(x_n = 2008\) จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ \(x_0 \)

  \item ให้ \(ABC\) เป็นสามเหลี่ยมที่ \(AB = 7\), \(BC = 8\) และ \(CA = 9\) \\
  ให้ \(D\) และ \(E\) เป็นจุดบนด้าน \(BC\) และ \(AC\) ตามลำดับ โดย \(AD\) และ \(BE\) ตัดกันที่จุด \(P\) \\
  ถ้า \(B\hat AD = C\hat AD\) และ \(PA = \frac{{4\sqrt {21} }}
  {3}\) จงหาความยาวของ \(DE\)

  \item เกมคอมพิวเตอร์เกมหนึ่งมีกติกาคือ
  
  \begin{itemize}
    \item มีกระดานลักษณะดังรูป
    
    \begin{center}
      \includegraphics[height=3cm]{tug6-2-14.png}
    \end{center}
    
    คอมพิวเตอร์จะสุ่มตำแหน่งวางหมากขาว 1 ตัว และหมากดำ 1 ตัว ลงในช่องสองช่องใดๆ บนกระดาน
    \item หมากแต่ละตัวสามารถเดินได้แบบม้าหมากรุก (เดินในแนวตรง 2 ช่องแล้วเลี้ยวซ้ายหรือเลี้ยวขวา แล้วเดินไปอีก 1 ช่อง)
    \item ในการเดินหมากแต่ละครั้ง ผู้เล่นสามารถเลือกเดินหมากตัวใดก็ได้ แต่ห้ามเดินให้หมากสองตัวมาอยู่ในช่องเดียวกัน
    \item ผู้เล่นจะต้องพยายามเดินหมากให้หมากทั้งสองมาอยู่สลับที่กัน
  \end{itemize}
  
  เรนะลองเล่นเกมนี้ไปเรื่อยๆ โดยในแต่ละเกม จะพยายามเดินหมากตามเงื่อนไขโดยใช้จำนวนครั้งน้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ จนกระทั่งได้เล่นเกมที่มีตำแหน่งของหมากขาวและหมากดำในตอนเริ่มต้นครบทุกแบบที่เป็นไปได้ \\
  เรนะพบว่า เกมที่ใช้จำนวนครั้งในการเดินมากที่สุด มีการเดินทั้งหมด \(N\) ครั้ง และเกมที่ใช้จำนวนครั้งในการเดินน้อยที่สุด มีการเดินทั้งหมด \(n\) ครั้ง จงหาค่าของ \(N^2 + n^2 \)

  \item จงหาค่าของ \(\frac{1}{1^4 - 6 \cdot 1^2 + 25} + \frac{2}{2^4 - 6 \cdot 2^2 + 25} + \frac{3}{3^4 - 6 \cdot 3^2 + 25} + \ldots \)

  \item นักเรียนห้องหนึ่งมี \(16\) คน นักเรียนแต่ละคนจะเข้าชมรมได้ไม่เกิน \(4\) ชมรม และชมรมแต่ละชมรมจะมีสมาชิกได้ไม่เกิน \(4\) คน \\
  นักเรียนสองคนใดๆ จะเรียกว่าเป็น {\bf เพื่อน} กัน เมื่อนักเรียนทั้งสองคนเข้าชมรมเดียวกันอย่างน้อยหนึ่งชมรม \\
  จงหาว่า เมื่อพิจารณานักเรียนทั้งหมดในห้องนี้ จะมี {\bf เพื่อน} เกิดขึ้นได้อย่างมากกี่คู่

  \item กำหนด \(P\left( x \right) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) เมื่อ \(a,b,c,d,e\) เป็นจำนวนจริง โดยที่ \(P(-2) = 8, P(1) = -7, P(3) = -7\) \\
  จงหาค่าของ \(7P\left( 0 \right) - P\left( 4 \right) + P\left( { - 3} \right)\)

  \item จงหาจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่หาร \\
  \(\left( {a^2 b - ab^2 } \right)\left( {b^2 c - bc^2 } \right)\left( {c^2 d - cd^2 } \right)\left( {d^2 e - de^2 } \right)\left( {e^2 a - ea^2 } \right)\) ลงตัวเสมอ \\
  ไม่ว่า \(a,b,c,d,e\) จะเป็นจำนวนเต็มใดๆ ก็ตาม

  \item ให้ \(a,b,c\) เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่แตกต่างกัน และไม่มีตัวใดเป็นศูนย์ \\
  จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ \(\frac{a^2 b^2 }{c^2 \left( a - b \right)^2 } + \frac{b^2 c^2 }{a^2 \left( b - c \right)^2 } + \frac{c^2 a^2 }{b^2 \left( c - a \right)^2 }\)

  \item ให้ \(ABC\) เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลมที่ \(B\hat AC = 60^ \circ \) \\
  ให้ \(H\) เป็นจุดตัดของส่วนสูงทั้งสามเส้นของสามเหลี่ยม \(ABC\) \\
  ให้ \(I\) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในสามเหลี่ยม \(ABC\) \\
  ให้ \(O\) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม \(ABC\) \\
  ถ้า \(I \hat HO = 12^ \circ\) จงหาขนาดของมุม \(H\hat IO\)

  \item ร้านค้ามีแสตมป์ขายอยู่สามราคา คือ \(17\), \(220\) และ \(2551\) บาท ยูกิมีเงินอยู่ \(k\) บาทและต้องการซื้อแสตมป์ให้รวมเป็นมูลค่าเท่ากับจำนวนเงินที่มีอยู่พอดี (ไม่จำเป็นต้องซื้อแสตมป์ครบทั้งสามชนิด) \\
  จงหาจำนวนนับ \(k\) ที่มากที่สุดที่ทำให้ยูกิไม่สามารถซื้อแสตมป์ตามที่ต้องการได้


  \item ซากุระและโทโมโยะเล่นเกมกัน โดยมีขั้นตอนดังนี้
  
  \begin{enumerate}[1.]
    \item ซากุระเลือกจำนวนขึ้นมา \(k\) จำนวน จากจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 100
    \item โทโมโยะเลือกจำนวนขึ้นมา 4 จำนวน จากจำนวนที่ซากุระเลือกไว้ในขั้นที่ 1
    \item ซากุระเลือกจำนวนขึ้นมา 2 จำนวน จากจำนวนที่โทโมโยะเลือกไว้ในขั้นที่ 2
    \item ถ้าสองจำนวนนั้นมี ห.ร.ม. เป็น 1 โทโมโยะจะเป็นฝ่ายชนะ แต่ถ้าสองจำนวนนั้นมี ห.ร.ม. ไม่เป็น 1 ซากุระจะเป็นฝ่ายชนะ
  \end{enumerate}

  จงหาค่า \(k\) ที่มากที่สุดที่ทำให้ซากุระเป็นฝ่ายชนะ เมื่อทั้งสองฝ่ายต่างเล่นด้วยแผนการที่ดีที่สุด

  \item ให้ \(a,b,c\) เป็นจำนวนจริงไม่ติดลบใดๆ ซึ่งทั้งสามตัวไม่เป็นศูนย์พร้อมกันหมด \\
  จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ \(\frac{a^3 + b^3 + c^3 }{\left( {a + b + c} \right)^3 } - \frac{a^4 + b^4 + c^4 }{\left( {a + b + c} \right)^4 }\)

  \item กำหนด {\bf แต้ม} ของเซต \(A\) หมายถึง จำนวนของชุดอันดับ \((x,y,z)\) ที่ \(x,y,z \in A\) โดยที่ \(x + y = z\) และ \(x < y\) \\
  จงหาผลรวมของ {\bf แต้ม} ของเซตทุกเซตที่เป็นสับเซตของ \(\{ 1,2,3, \ldots ,100\} \)

  \item จงเขียนจำนวนลงในแต่ละช่องของตาราง \(4 \times 4\) ให้สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้
  \begin{itemize}
    \item จำนวนในแต่ละช่องจะต้องเป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันทั้งหมด
    \item จำนวนในแต่ละช่องจะต้องมีค่าไม่เกิน \(30\)
    \item ผลคูณของจำนวนในแต่ละแถว แต่ละหลัก และในแนวทแยงมุมทั้งสองแนวจะต้องมีค่าเท่ากันทั้งหมด
  \end{itemize}
\end{enumerate}

\end{document}


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ