ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

TUMSO1 รอบที่ 1



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}
\DeclareMathOperator{\arcsec}{arcsec}
\DeclareMathOperator{\adj}{adj}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{TUMSO1 รอบที่ 1 จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\newcommand{\choices}[4]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicess}[4]{ \begin{tabular}{p{6cm} l} ก. #1 & ข. #2 \\ ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicessss}[4]{ \begin{tabular}{l} ก. #1 \\ ข. #2 \\ ค. #3 \\ ง. #4 \\ \end{tabular}}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent ข้อสอบ TUMSO ครั้งที่ 1 รอบที่ 1

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 2 กรกฎาคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \ สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 ชมรมคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip

\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% material
\newpage
\setcounter{page}{1}

\begin{center}
  \includegraphics[height=2.5cm]{tumso_logo.jpg}\\
  การแข่งขันคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ระหว่างโรงเรียน ครั้งที่ 1 โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา \\
  สอบแข่งขันวิชาคณิตศาสตร์ รอบที่ 1
\end{center}

\textbf{ตอนที่ 1}	ปรนัย 22 ข้อ ข้อละ 2.5 คะแนน
	
\begin{enumerate}

  \item สัตว์ 5 ตัว คือ A B C D E ซึ่งไม่เป็นสุนัขป่าก็เป็นสุนัขบ้าน ถ้าสุนัขบ้านพูดแต่ความจริงเสมอ และสุนัขป่าพูดแต่ความเท็จเสมอ จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
  
  \begin{itemize}
    \item[] A บอกว่า B เป็นสุนัขบ้าน
    \item[] B บอกว่า C เป็นสุนัขป่า
    \item[] C บอกว่า D เป็นสุนัขป่า
    \item[] D บอกว่า B และ C เป็นสุนัขต่างชนิดกัน
    \item[] E บอกว่า A เป็นสุนัขบ้าน
  \end{itemize}
  
  จงหาจำนวนของสุนัขบ้าน

  \choices{1}{2}{3}{4}

  \item กำหนดให้
  \begin{itemize}
    \item[] \(R\) แทนเซตของจำนวนจริง
    \item[] \(I\) แทนเซตของจำนวนเต็ม
    \item[] \(N\) แทนเซตของจำนวนนับ
    \item[] \(Q\) แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
    \item[] \(Q'\) แทนเซตของจำนวนอตรรกยะ
  \end{itemize}
  
  จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
  
  \begin{enumerate}[ \ 1)]
    \item \(R-\left[ \left( Q-I \right)\cup \left( I-N \right)\cup {Q}' \right]=N\)
    \item \(\left[ I-\left( Q\cup N \right) \right]\cup \left( Q-I \right)\subset R-\left( I-N \right)\)
  \end{enumerate}
  
  \choicessss{ข้อ 1 ถูกต้องเพียงข้อเดียว}{ข้อ 2 ถูกต้องเพียงข้อเดียว}{ทั้งข้อ 1 และข้อ 2 ถูกต้อง}{ทั้งข้อ 1 และข้อ 2 ไม่ถูกต้อง}

  \item กำหนดให้ \(\left[ f\left( x^{2}+1 \right) \right]^{\sqrt{x}}=k\) ทุก \(x>0\) ซึ่ง \(k\) เป็นค่าคงที่และมีค่ามากกว่าศูนย์
  
  จงหาค่าของ \(\left[ f\left( \frac{9+y^{2}}{y^{2}} \right) \right]^{\sqrt{\frac{12}{y}}}\)

  \choicess{\(k+3\)}{\(\frac{3}{k}\)}{\(k^2\)}{\(k^3\)}

  \item กำหนดให้ \(x+y<\frac{1}{2}\) และ \(x^2+y^2<2\) ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

  \choices{\(-\sqrt{2} 1 \) ใดๆ ให้ \(a_n\) เป็นสัมประสิทธิ์ของ \(x^{n+2}\) ในการกระจาย \(\left(1+2x\right)^{2n}\) และให้ \(b_n\) เป็นสัมประสิทธิ์ของ \(x^n\) ในการกระจาย \(\left(2+3x\right)^{2n}\) ลิมิตของลำดับ \(3^{n} \cdot \frac{a_n}{b_n}\) มีค่าเท่าใด

  \choices{0}{\(\frac{4}{3}\)}{4}{หาลิมิตไม่ได้}

  \newpage
  
  \item การสอบยิงปืนของโรงเรียนรักษาดินแดน ใช้เป้ายิง ปลย. แบบ จ. มีแต้ม 1, 2, 3, 6 คะแนน เรียงเป็นวงกลมจากนอกเข้าไปในตามลำดับ (ดังภาพ) นศท. นายหนึ่งทำการยิง 5 นัด โดยฝีมือการยิงของ นศท. นายนี้ เขามีความน่าจะเป็นที่จะยิงเข้าเป้าส่วนที่ได้ \(n\) แต้ม เป็น \(\frac{1}{2n}\) สำหรับ \(n=1,2,3,6\) ครูฝึกบอกว่าต้องทำคะแนนให้ได้ไม่น้อยกว่า 24 แต้ม จึงจะสอบผ่าน จงหาความน่าจะเป็นที่ นศท. นายนี้จะสอบผ่าน
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=4cm]{tum1-1-1-19.png}
  \end{center}

  \choices{\(\frac{4}{12^4}\)}{\(\frac{6}{12^4}\)}{\(\frac{8}{12^4}\)}{1 เพราะครูฝึกใจดี}

  \item ในการวิเคราะห์ข้อมูลชุดหนึ่ง นายองอาจสามารถหาได้ว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีค่าเท่ากับ 20 และมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น \(2\sqrt{2}\) แต่ต่อมานายองอาจพบว่าตนเองหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตผิด ซึ่งที่ถูกควรจะเป็น 22 จงหาว่าค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้องควรเป็นเท่าไร

  \choices{\(\sqrt{6}\)}{\(\sqrt{2}\)}{2}{ไม่สามารถหาได้}

  \item นการสอบคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง คะแนนสอบมีการแจกแจงแบบปกติ เกณฑ์ในการคิดระดับคะแนนเป็นดังนี้
ได้คะแนนตั้งแต่ \(\bar{x}+1.5S\) ขึ้นไป จะได้รับระดับคะแนน 4
ได้คะแนนในช่วง \(\bar{x}+0.5S < x_i < \bar{x}+1.5S\) จะได้รับระดับคะแนน 3
ได้คะแนนในช่วง \(\bar{x}-0.5S < x_i < \bar{x}+0.5S\) จะได้รับระดับคะแนน 2
ได้คะแนนในช่วง \(\bar{x}-1.5S < x_i < \bar{x}-0.5S\) จะได้รับระดับคะแนน 1
ได้คะแนนตั้งแต่ \(\bar{x}-1.5S\) ลงไป จะได้รับระดับคะแนน 0
ถ้าการสอบครั้งนี้มีนักเรียนได้ระดับคะแนน 1 อยู่ 24 คน อยากทราบว่าจะมีนักเรียนกี่คนที่สอบได้ระดับคะแนน 4 (โดยประมาณใกล้เคียงที่สุดเป็นจำนวนเต็ม)
โดยกำหนด \(z=0.5\) ได้ \(A=0.1915\) และ \(z=1.5\) ได้ \(A=0.4332\)

  \choices{5}{7}{9}{10}

  \newpage
  
  \item ตามความในจดหมายเหตุกรุงศรีอยุธยาฉบับหอสมุดแห่งชาติ ราว พ.ศ. 2310 ก่อนการเสียกรุงครั้งที่ 2 ปรากฏแผนที่แสดงสะพานข้ามคูเมือง (แม่น้ำเจ้าพระยา, แม่น้ำลพบุรี, แม่น้ำป่าสัก) ซึ่งล้อมพระนครไว้ ครั้งนั้นเป็นฤดูน้ำหลาก เกิดน้ำท่วมบริเวณ (6) และมีหลักฐานว่าทัพพม่ากรีฑาทัพเข้าประชิดกรุงศรีอยุธยาและตั้งค่ายอยู่บริเวณต่างๆ ดังแสดงในภาพ ขณะนั้นไทยมีกำลังกองลาดตระเวณเพียง 1 กอง จะทำการลาดตระเวน
1) จะสามารถนำทหารลาดตระเวนออกจาก (5) ข้ามสะพานละ 1 ครั้ง ทุกสะพาน ได้หรือไม่
2) จะนำกำลังออกลาดตระเวนออกจาก (5) ผ่านบริเวณต่างๆ บริเวณละไม่เกิน 1 ครั้ง และผ่าน (1) หรือ (4) ได้กี่วิธี

  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{tum1-1-1-22.png}
  \end{center}
  
  \choices{ได้, 29 วิธี}{ไม่ได้, 29 วิธี}{ได้, 39 วิธี}{ไม่ได้, 39 วิธี}
\end{enumerate}

\textbf{ตอนที่ 2}	เติมเฉพาะคำตอบ 8 ข้อ ข้อละ 3 คะแนน

\begin{enumerate}
  \item กำหนดให้ \(n\left(A\right)\) หมายถึงจำนวนสมาชิกของเซต \(A\), \(P\left(A\right)\) หมายถึงเพาเวอร์เซตของเซต \(A\) ถ้า \(n\left(P\left(C\right)\right) - 3\cdot n\left(P\left(B\right)\right) + n\left(P\left(A\right)\right) = 2001\) และ \(n\left(C\right) = 3\cdot n\left(B\right) - 1\)
แล้วจงหาค่าของ \(n\left(A\right) + n\left(B\right) + n\left(C\right)\)

  \item ให้ \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องสมการ \(xy=490\) และ \(\left(\log x - \log 7 \right)\left(\log y - \log 7 \right) = -\frac{15}{4}\) เมื่อ \(x > y\) แล้วจงหาค่าของ \(x\)

  \item จงหาผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ \(x^{\log _{3}x^{2}+\left( \log _{3}x \right)^{2}-10}=x^{-2}\)

  \item กำหนดให้ \(f\left( x \right)=\left( 3\sin x-4\cos x-10 \right)\left( 3\sin x+4\cos x-10 \right)\)
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ \(f\left(x\right)\) เมื่อ \(x\) เป็นจำนวนจริงใดๆ

  \item ให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ที่ทำมุมกัน \(\theta \); (\(0 < \theta  < \pi \)) โดย \(\vec{u}\) มีขนาดเท่ากับ \(a\) และ \(\vec{v}\) มีขนาดเท่ากับ \(b\) ให้ \(\vec{w}\) เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ทำมุม \(\frac{\theta}{2}\) กับทั้ง \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) จงเขียน \(\vec{w}\) ในรูปของ \(m\vec{u} + n\vec{v}\) เมื่อ \(m\) และ \(n\) เป็นจำนวนจริง (ติดค่า \(a,b\) และ \(\theta\))

  \item พิจารณาลำดับของจำนวนตรรกยะ \(\frac{1}{1},\frac{2}{1},\frac{1}{2},\frac{3}{1},\frac{2}{2},\frac{1}{3},\frac{4}{1},\frac{3}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{5}{1},\frac{4}{2},\frac{3}{3},\frac{2}{4},\frac{1}{5},\ldots \)
จงหาว่าพจน์ที่มีค่า \(\frac{1}{2}\) จะปรากฏเป็นครั้งที่ \(n\) ณ พจน์ที่เท่าใด

  \item จงหาจำนวนวิธีในการสร้างจำนวน 12 หลัก จากเลขโดด 1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4 โดยมีเงื่อนไขว่า เมื่ออ่านจำนวนนี้จากซ้ายไปขวาต้องพบ \(i\) อย่างน้อย 1 ตัวก่อนที่จะพบ \(i+1\) สำหรับ \(i=1,2,3\)

  \item หมู่บ้านแห่งหนึ่งมี 10 ครัวเรือน ทุกครอบครัวปลูกบ้านติดริมถนนซึ่งเป็นเส้นตรงและอยู่ฝั่งเดียวกันของถนน โดยมีระยะห่างระหว่างบ้านที่อยู่ติดกันเป็น 1,2,4,5,8,4,3,2,1 กิโลเมตร นับจากหลังแรกที่อยู่ริมสุด วันหนึ่งมีร้านเครื่องใช้ไฟฟ้ามาเปิดใหม่ ถ้าแต่ละครัวเรือนจะสั่งเครื่องใช้ไฟฟ้ามา 1 อย่าง แต่ทางร้านมีคนส่งของเพียงคนเดียวและเดินส่งของได้เที่ยวละ 1 อย่างเท่านั้น อยากทราบว่าร้านเครื่องใช้ไฟฟ้าแห่งนี้ควรจะตั้งที่ตำแหน่งห่างจากบ้านหลังแรกที่อยู่ริมสุดเป็นระยะทางเท่าใด จึงจะใช้เวลาในการส่งของน้อยที่สุด เมื่อคนส่งของเดินส่งของด้วยอัตราเร็วคงที่

\end{enumerate}

\textbf{ตอนที่ 3}	เติมเฉพาะคำตอบ

\begin{enumerate}
  \item ให้คอร์ดเทนนิสมีขนาดกว้าง 4.8 เมตร ยาว 12 เมตร และมีเขตเสิร์ฟยาว 3 เมตร ดังรูป ให้เรียวมะยืนเตรียมเสิร์ฟที่คอร์ดด้านบน บริเวณกึ่งกลางเส้นเสิร์ฟฝั่งซ้าย และอินูอิยืนรอรับลูกเสิร์ฟอยู่บริเวณกึ่งกลางเส้นเสิร์ฟ จากนั้นเรียวมะใช้ลูกเสิร์ฟทวิสต์เสิร์ฟมาด้วยความรุนแรง แต่อินูอิคำนวณได้ว่าลูกเทนนิสจะเคลื่อนที่เป็นพาราโบลา โดยมีสมการคือ \(48y = 55x^2 + 234x\) อินูอิจึงออกตัวเคลื่อนที่ไปทางขวาด้วยความเร่งคงที่ \(a\) เมตรต่อวินาที\(^2\) และสามารถรับลูกได้ภายในเวลา 4 วินาทีพอดี จงหาค่าของ \(a\)

  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{tum1-1-3-1.png}
  \end{center}
  
  (6 คะแนน)

  \item จงหาเซตคำตอบของสมการ \(x^4 + 2x^3 - 16x^2 - 8x +16 = 0\)
  
  (7 คะแนน)
  
  \newpage

  \item ในปี 25xx ณ โรงเรียนเตรียมอุดม หลังจากการสอบกลางภาค มีนักเรียนเตรียมอุดมจำนวนมากเกิดอาการท้องเสียขึ้นพร้อมกันโดยไม่ทราบสาเหตุ ทางชมรมคณิตศาสตร์เกิดความประหลาดใจจึงสืบหาความจริง จนพบว่ามีนักเรียนกลุ่มหนึ่งที่ไม่มีอาการท้องเสียปรากฏขึ้น และก็พบว่านักเรียนกลุ่มนี้เป็นนักเรียนสายศิลป์-ภาษาทั้งหมด ทางชมรมจึงสันนิษฐานว่าต้นเหตุน่าจะมาจากข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์จึงทำการสืบต่อไป และพบว่าในข้อสอบนั้นมีข้อสอบถอดรหัสข้อหนึ่งซึ่งยากมาก ทางกรรมการชมรมจึงพยายามที่จะไปรหัสแต่ก็ไม่สำเร็จ จนกรรมการทุกคนท้องเสียหมดสภาพที่จะไขรหัสต่อไป ข้อสอบชุดนี้จึงถูกเรียก ``ลิง ข้อสอบมรณะ'' ซึ่งต้องไขรหัสให้ได้ภายใน 3 ชั่วโมง มิเช่นนั้นจะเกิดอาการท้องเสียอย่างรุนแรงทันที

\bigskip

ในเวลาเดียวกันนั้นนายองอาจ กรรมการชมรมคณิตศาสตร์คนหนึ่ง ได้ลุกขึ้นจากเตียงด้วยความงัวเงีย เขาเพิ่งรู้ตัวว่าตื่นสายเสียแล้วทั้งที่เป็นวันสอบของเขา นายองอาจจึงรีบออกจากบ้านไปโรงเรียนอย่างรวดเร็ว พอมาถึงนายองอาจก็รู้สึกตกใจอย่างยิ่งเมื่อได้พบว่าโรงเรียนอยู่ในสภาพที่ไม่เคยเห็นมาก่อน คือเต็มไปด้วยความโกลาหล มีแต่คนแย่งกันเพื่อจะเข้าห้องน้ำ ระหว่างนั้นนายองอาจก็ได้พบนายจารุพลรุ่นน้องกรรมการชมรมที่อยู่ในสภาพขาดน้ำและเกลือแร่ นายองอาจจึงรู้ความจริงเกี่ยวกับ ``ลิง'' และกลายเป็นความหวังสุดท้ายของชมรมในการแก้วิกฤตการณ์นี้ นายองอาจจึงถอดรหัสอาถรรพ์อย่างสุดชีวิต หลังจากเวลาผ่านไปเกือบ 3 ชั่วโมง ในที่สุดนายองอาจก็หาวิธีถอดรหัสได้ เขาสามารถถอดรหัสได้เรื่อยๆ ขณะที่จะถอดรหัสสุดท้ายนั้น นางสาวหลิน (นามสมมติ) แฟนสาวของนายองอาจ ได้โทรศัพท์เข้ามา ทำให้นายองอาจเสียสมาธิ และไขรหัสสุดท้ายไม่ทันจึงท้องเสียหมดท่าอยู่ตรงนั้น แต่เขาก็ได้ทิ้งสิ่งที่เขาแก้ไว้ได้บางส่วนเพื่อไว้ให้ท่านช่วยถอดรหัสต่อไปนี้
\[\begin{matrix}
   9 & 8 & 6 & 1  \\
   2 & 4 & 3 & 4  \\
\end{matrix}\]
อ่านได้ว่า TU และ
\[\begin{matrix}
   3 & 1 & 1 & 0 & 3 & 1 & 4 & 4  \\
   7 & 5 & 8 & 9 & 4 & 6 & 2 & 7  \\
\end{matrix}\]
อ่านได้ว่า HINT

อยากทราบว่ารหัสสุดท้ายคือ
\[\begin{array}{cccccccccccccc}
   5 & 5 & 6 & 1 & 3 & 2 & 8 & 2 & 7 & 5 & 9 & 8 & 4 & 1  \\
   1 & 5 & 4 & 2 & 2 & 3 & 6 & 3 & 1 & 2 & 5 & 6 & 1 & 2  \\
\end{array}\]
อ่านได้ว่าอะไร

(8 คะแนน)
\end{enumerate}
\end{document}



* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ