ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

TUMSO2 รอบที่ 2



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}
\DeclareMathOperator{\arcsec}{arcsec}
\DeclareMathOperator{\adj}{adj}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{TUMSO2 รอบที่ 2 จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\newcommand{\choices}[4]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicess}[4]{ \begin{tabular}{p{6cm} l} ก. #1 & ข. #2 \\ ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicessss}[4]{ \begin{tabular}{l} ก. #1 \\ ข. #2 \\ ค. #3 \\ ง. #4 \\ \end{tabular}}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent ข้อสอบ TUMSO ครั้งที่ 2 รอบที่ 2

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 5 กรกฎาคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \ สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 ชมรมคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip

\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% material
\newpage
\setcounter{page}{1}

\begin{center}
  \includegraphics[height=2.5cm]{tumso_logo.jpg}\\
  การแข่งขันคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ระหว่างโรงเรียน ครั้งที่ 2 โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา \\
  สอบแข่งขันวิชาคณิตศาสตร์ รอบที่ 2
\end{center}

\begin{enumerate}

  \item ให้ \(r,s,t\) เป็นรากจริงบวกที่ต่างกันทั้งสามของสมการ
  \[x\left(x-2\right)\left(3x-7\right) = 2\]
  จงหาค่าของ \(\arctan r + \arctan s + \arctan t\)

  \item ให้ \(A = \left\{ 0,1,2,3,4,5 \right\}\) เป็นเซตของตัวอักษร \\
  เราจะเรียก \(x = \overline{x_1 x_2 x_3 x_4 x_5}\) ว่า ``คำรหัส'' ที่มีความยาว 5 ถ้า \(x_i \in A\) สำหรับ \(i=1,2,3,4,5\) \\
  และเรียก \(w\left(x\right)\) ว่า ``น้ำหนัก'' ของ \(x\) โดย \(w\left(x\right) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5\) \\
  จงหาจำนวน ``คำรหัส'' ความยาว 5 ทั้งหมด ที่มี ``น้ำหนัก'' หารด้วย 3 ลงตัว

  \item ให้ \(a\) เป็นจำนวนจริงบวก และ \(n\) เป็นจำนวนนับ \\
  นิยาม ตัวดำเนินการ \textit{ลูกศรทรงพลัง} \(a\uparrow m\) ดังนี้

  \begin{enumerate}[i)]
    \item \(a\uparrow 1 = a\) และ
    \item \(a\uparrow \left(i+1\right) = a^{\left(a\uparrow i\right)}\) สำหรับทุก \(i=1,2,3,\ldots\) \\
    (เช่น \(4\uparrow 3 = 4^{4\uparrow 2} = 4^{4^4} = 4^{256}\) ซึ่งมี 155 หลัก)
  \end{enumerate}

  สำหรับแต่ละจำนวนนับ \(k\) ให้ \(x_k\) แทนจำนวนจริงบวก (มีเพียงจำนวนเดียว) ที่เป็นคำตอบของสมการ
  \[x\uparrow k = 10\uparrow \left(k+1\right)\]
  จงเปรียบเทียบว่าระหว่าง \(x_{42}\) และ \(x_{43}\) ว่าจำนวนใดมีค่ามากกว่า

  \item ให้ \(A = \left(\frac{a}{a+b}\right) + \left(\frac{a}{a+b}\right)^2 + \left(\frac{a}{a+b}\right)^3 + \ldots + \left(\frac{a}{a+b}\right)^{2547}\)
  
  \(B = \left(\frac{b}{a+b}\right) + \left(\frac{b}{a+b}\right)^2 + \left(\frac{b}{a+b}\right)^3 + \ldots + \left(\frac{b}{a+b}\right)^{2547}\)
  
  โดยที่ \(a^3 = b^3\) และ \(a\ne b\) จงหาค่าของ \(A+B\)

  \newpage
  
  \item จากการสำรวจคะแนนสอบวิชาชีววิทยาของนักเรียนที่เป็นคณะกรรมการ TUMSO 50 คน เป็นดังนี้
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=6cm]{tum2-2-5-1.png}
  \end{center}

  ซึ่งอาจเขียนเป็นเส้นโค้งความถี่ได้ดังนี้

  \begin{center}
    \includegraphics[height=6cm]{tum2-2-5-2.png}
  \end{center}
  
  จงหาค่าของ \(a-b+c\) (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง)

  \item กำหนด \(B\) เป็นเมตริกซ์สมมาตร และ \(C\) เป็นเมตริกซ์เสมือนสมมาตร \\
  ให้ \(A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 1  \\ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\) ถ้า \(B+C = A\) และ \\
  \(BC = D^t\) เมื่อ \(D = \left[ d_{ij} \right] _{3\times 3}\) \\
  แล้วผลบวกค่า \(d_{ij}\) ที่เป็นจำนวนเต็มเท่ากับเท่าไร

  \item กำหนดให้ \(z\) เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ ซึ่ง \(\left| z-2-4i \right|=3\) \\
  ถ้า \(a\) คือค่ามากสุดของ \(\left| z-5-10i \right|\) และ \(b\) คือค่าน้อยสุดของ \(\left| z-5-10i \right|\) แล้ว \(a^2 + b^2\) มีค่าเท่าไร

  \item กำหนดสี่เหลี่ยมคางหมู \(ABCD\) มี \(AB\) ขนานกับ \(CD\), \(M\) เป็นจุดกึ่งกลางด้าน \(AD\), \(\angle MCB = 150^{\circ}\), \(BC = y\) และ \(MC = x\) \\
  จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม \(ABCD\) ในรูปของ \(x,y\)

  \item จงหาเลขสามหลักแรกของ \(1^1 + 2^2 + 3^3 + \ldots + 1000^{1000}\)

  \item นาย ก ทำการทดลองอย่างหนึ่ง โดยใส่ทรายปริมาณมากลงในขวดใบใหญ่ แล้วเททรายผ่านกรวยอันหนึ่งให้ลงสู่พื้นราบ โดยอัตราการไหลของทรายเป็น 10 ลูกบาศก์เมตรต่อนาที และทรายที่ไหลลงมานี้กองเป็นรูปกรวย มีอัตราส่วนระหว่างความสูงต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานเป็น 3:8 \\
  จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงความสูงของกองทราย เมื่อกองทรายสูง 4 เมตร

  \item ให้ \(a_n\) แทนเลขหลักหน่วยของ \(1+2+3+\ldots +n\) \\
  ตัวอย่างเช่น \(a_1 = 1, a_2 = 3, a_3 = 6\) \\
  จงหาค่าของ \(a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{100}\)

  \item จงหาค่า \(\frac{dy}{dx}\) ที่ \(x=1\) เมื่อ \(y = \cfrac{u}{1+\cfrac{u}{1+\cfrac{u}{1+\dotsb}}}\) และ \(u = x^x\) \\
  โดยกำหนดให้ \(\frac{d \ln x}{dx} = \frac{1}{x}\)
  
\end{enumerate}

\end{document}



* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ