ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

TUMSO5 รอบที่ 1



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{TUMSO5 รอบที่ 1 จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\newcommand{\choices}[7]{ \begin{tabular}{ p{1.5cm} p{1.5cm} p{1.5cm} p{1.5cm} p{1.5cm} p{1.5cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 & จ. #5 & ฉ. #6 & ช. #7 \end{tabular}}

\newcommand{\choicess}[7]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ จ. #5 & ฉ. #6 & ช. #7 & \end{tabular}}

\newcommand{\choicesss}[7]{ \begin{tabular}{ p{4cm} p{4cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 \\ ง. #4 & จ. #5 & ฉ. #6 \\ ช. #7 & & \end{tabular}}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent ข้อสอบ TUMSO ครั้งที่ 5 รอบที่ 1 \\
สอบวันที่ 9 มกราคม 2550

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 1 กรกฎาคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \ สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 ชมรมคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip

\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% material
\newpage
\setcounter{page}{1}

\begin{center}
  \includegraphics[height=1.5cm]{tumso5_logo.png}\\
  การแข่งขันคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ระหว่างโรงเรียน ครั้งที่ 5 โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา \\
  สอบแข่งขันวิชาคณิตศาสตร์ รอบที่ 1
\end{center}

\textbf{ตอนที่ 1}	ให้กากบาทคำตอบที่ถูกต้องเพียงข้อเดียวในกระดาษคำตอบ หากไม่มีข้อใดถูกต้องให้ตอบ ฮ (ข้อ 1-7 ข้อละ 3 คะแนน)
	
\begin{enumerate}
  \item กำหนด \( f(x) = \frac{{a + b}} {{P(x) + c}} + \frac{{a - b}} {{P(x) - c}} \) เมื่อ \( P(x) \) เป็นพหุนามที่มีสมบัติว่า \( P'(x) = 1 \) สำหรับทุกจำนวนจริง \( x \) และ \( f(2) = 1,f(3) = 2,f(4) = 3,f(5) = 5 \) โดยที่ \( a,b,c \) เป็นจำนวนจริง จงหาเศษจากการหาร \( \left( {P(x)} \right)^2 + P(x) + 1 \) ด้วย \( x + \frac{b} {c} + a \)
  
  \choices{-3}{-2}{-1}{0}{1}{2}{3}
  
  \item ให้ \(P\) เป็นจุดบนระนาบซึ่ง เส้นสัมผัสวงกลมรัศมี \(R\) จากจุด \(P\) ยาว \(l\) จากจุดสัมผัสของเส้นสัมผัสจากจุด \(P\) ลากเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางวงกลมดังกล่าวไปพบวงกลมที่จุด \(Q\) ส่วนของเส้นตรง \(PQ\) ตัดวงกลมที่จุด \(R\) ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาวเท่ากับส่วนของเส้นตรง \(PQ\) และ \(PR\) เท่ากับเท่าใดในเทอมของ \(R\) และ \( l \)
  
  \choicesss{\(\sqrt {\frac{l^4 + 4R^2 l^2}{4R^2 + l^2}} \)}{\(\sqrt {\frac{l^4 + 16R^4}{4R^2 + l^2}} \)}{\(\sqrt {\frac{16R^4 + 4R^2 l^2}{4R^2 + l^2}} \)}{\(\sqrt {\frac{2l^4 + 8R^2 l^2 + 16R^4}{4R^2 + l^2}} \)}{\(\sqrt {\frac{l^4 + 8R^2 l^2 + 32R^4}{4R^2 + l^2}} \)}{\(\sqrt {\frac{l^4 + 12R^2 l^2 + 16R^4}{4R^2 + l^2}} \)}{\(\sqrt {\frac{l^4 + 8R^2 l^2 + 16R^4}{4R^2 + l^2}} \)}
  
  \item ให้ \(ABC\) เป็นสามเหลี่ยมที่มีผลบวกของกำลังสองของความยาวแต่ละด้านเท่ากับ \( \sqrt{2007} \) จงหาค่าของ \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} \)
  
  \choicess{\(\sqrt{2007}\)}{\(\frac{\sqrt{2007}}{2}\)}{\(\frac{2}{\sqrt{2007}}\)}{ \(2 \sqrt{2007}\)}{\(2007\)}{\(\sqrt[4]{2007}\)}{\(\sqrt {\frac{2007}{2}} \)}
  
  \item ข้อใดถูกต้องบ้าง
  \begin{enumerate}[a.]
    \item สมการ \(4x^5 - 26x^4 + 39x^3 - 16x^2 - 3x + 2 = 0\) มีรากที่ไม่เป็นจำนวนจริง
    \item \(\gcd(a,b) = \text{imf} \left\{ {\left| {ax + by} \right|\left| {x,y \in I} \right.} \right\}\)
    \item \(\arcsin x + \arccos (x + 1) = \frac{\pi}{3}\) มีจำนวนคำตอบเท่ากับ \(\arccos x + \arcsin (x + 1) = \frac{\pi}{3}\)
  \end{enumerate}
  
  \choices{a}{b}{c}{a,b}{b,c}{c,a}{คำตอบเป็นอย่างอื่น}
  
  \item กล่องใบหนึ่งมีลูกกวาดสีแดง,เขียว,ขาว โดยความน่าจะเป็นที่เมื่อหยิบลูกกวาด 1 เม็ดแบบสุ่มแล้วได้สีแดงหรือเขียวเท่ากับ \(\frac{3}{5}\) ความน่าจะเป็นที่เมื่อหยิบลูกกวาด 1 เม็ดแบบสุ่มแล้วได้สีแดงเท่ากับ \(\frac{3}{7}\) จงหาความน่าจะเป็นที่เมื่อหยิบลูกกวาด 1 เม็ดแบบสุ่มแล้วได้สีแดงหรือขาว
  
  \choices{\(\frac{3}{35}\)}{\(\frac{6}{35}\)}{\(\frac{14}{35}\)}{\(\frac{15}{35}\)}{\(\frac{20}{35}\)}{\(\frac{21}{35}\)}{\(\frac{29}{35}\)}
  
  \item ให้ \( p,q,r,s,t,u \) เป็นประพจน์ เมื่อเขียนค่าความจริงของประพจน์ 
  
  \( \left( {\left( {\left( {p \to q} \right) \wedge r} \right) \to \left( {s \leftrightarrow \sim t} \right)} \right) \vee \left( {u \to r} \right) \) ลงในตารางค่าความจริง
  
  จะมีบรรทัดที่มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมดกี่บรรทัด
  
  \choices{\(2\)}{\(64\)}{\(16\)}{\(32\)}{\(8\)}{\(48\)}{\(4\)}
  
  \item กำหนดข้อมูลของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ (x) และวิชาฟิสิกส์ (y) ดังนี้
  \begin{center}
    \begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c |}
      \hline
      x & 96 & 95 & 98 & 96 & 98 \\
      \hline
      y & 95 & 86 & 91 & 92 & 94 \\
      \hline
    \end{tabular}
  \end{center}
  
  โดยให้ x, y มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเป็นเส้นตรง
  
  ให้ \(l_1\) เป็นเส้นตรงแสดงผลของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ที่มีต่อวิชาฟิสิกส์ \\
      \(l_2\) เป็นเส้นตรงแสดงผลของคะแนนวิชาฟิสิกส์ที่มีต่อวิชาคณิตศาสตร์
  
  ถ้า \(l_1 ,l_2\) ตัดกันที่ (a,b) แล้วผลต่างของค่ามาตรฐานระหว่างข้อมูลที่เป็นเปอร์เซนไทล์ที่ a และ b ในข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติเป็นเท่าใด เมื่อกำหนดพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐานดังนี้
  
  \begin{center}
    \begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c |}
      \hline
      z & \(0.675\) & \(0.707\) & \(0.74\) & \(0.773\) & \(0.806\) & \(0.84\) & \(0.877\) & \(0.915\) & \(0.955\) & \(0.995\) & \(10.37\) & \(1.08\) \\
      \hline
      A & \(0.25\) & \(0.26\) & \(0.27\) & \(0.28\) & \(0.29\) & \(0.30\) & \(0.31\) & \(0.32\) & \(0.33\) & \(0.34\) & \(0.35\) & \(0.36\) \\
      \hline
      z & \(1.126\) & \(1.175\) & \(1.227\) & \(1.28\) & \(1.34\) & \(1.405\) & \(1.475\) & \(1.555\) & \(1.645\) & \(1.75\) & \(1.88\) & \(2.055\) \\
      \hline
      A & \(0.37\) & \(0.38\) & \(0.39\) & \(0.40\) & \(0.41\) & \(0.42\) & \(0.43\) & \(0.44\) & \(0.45\) & \(0.46\) & \(0.47\) & \(0.48\) \\
      \hline
    \end{tabular}
  \end{center}

  \choices{\(0.39\)}{\(0.40\)}{\(0.41\)}{\(0.42\)}{\(0.43\)}{\(0.44\)}{\(0.45\)}
\end{enumerate}

\textbf{ตอนที่ 2}	จงเขียนเฉพาะคำตอบลงในกระดาษคำตอบ (ข้อ 8-18 ข้อละ 4 คะแนน)
	
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item วงกลมวงหนึ่งกำหนดโดยสมการ \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = 50 - 25\sqrt 3  \) ผ่านจุด \(A(2007,2550)\), \(B(2003,2547)\), \(C(m,n)\) จงหาขนาดของมุม \( A \hat CB \) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
  
  \item ให้ \(U\) เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง \( (3 - \left| {z - 3 - 2i} \right|)\left| {z - i} \right| = 0 \)
  
  จงหาผลคูณสมาชิกใน \(S = \left\{ {\left| {z + 3 - 2i} \right|\left| {z \in U,\frac{{z + 3 - 2i}} {{6 - 2i}} \in R} \right.} \right\} \)
  
  \item จงหาว่าชุดจำนวนเต็มบวก \((a,b,c)\) ทั้งหมดซึ่ง \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2}{3}\) มีทั้งหมดกี่ชุด อะไรบ้าง

  \item ให้ \(S=\{a,b,c\}\) เป็นเซตคำตอบของสมการ
  \[\log x^2 - \log 3600 + \log_x 144 - \log 4 \cdot log_x 2 - log_x 6 \cdot log_x 4 + \log 36 \cdot (log_x 2)^2 = 0\]
  จงหาค่าของ \(a+b-c\) ทั้งหมดที่เป็นไปได้

  \item ให้ \( \overrightarrow x = - 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow k\), \(y = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j\), \(z = \overrightarrow j - 5\overrightarrow k  \) และ \( \overrightarrow u = 3\overrightarrow x + 4\overrightarrow y + 2\overrightarrow z\), \(\overrightarrow v = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z\)
  
  ถ้า \( \overrightarrow {w_1 }  \) เป็นเงาของเวกเตอร์ \( \overrightarrow u  \) บน \( \overrightarrow v  \) และ \( \overrightarrow {w_2 }  \) เป็นเงาของเวกเตอร์ \( \overrightarrow v  \) บน \( \overrightarrow u  \) แล้วจงหาค่าของ \( \left| {\overrightarrow {w_1 } \times \overrightarrow {w_2 } } \right| \)
  
  \item ลากเส้น \(AD\) แบ่งครึ่งมุมภายในสามเหลี่ยม \(ABC\) พบ \(BC\) ที่ \(E\) และพบเส้นตรงที่สัมผัสวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม \(ABE\) ที่ \(B\) ที่ \(F\) ต่อ \(AB\) พบ \(CF\) ที่ \(G\) ถ้า \( D\hat GC + A\hat BC = A\hat CB + F\hat AC \) จงหามุมระหว่างเวกเตอร์ \(\overrightarrow{AC}\) และ \(\overrightarrow{DG}\) ในเทอมของ \( A\hat BC, B\hat AC \)
  
  \item จงหาค่าของ \( \sum\limits_{i = 0}^n {\left( {\frac{1}{i + 1} - \frac{1}{i + 2}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ i \\ \end{array} } \right)} \) ในเทอมของ \(n\)
  
  \item จงหาค่าของ \( \int\limits_{ - 3}^3 {\int\limits_{ - 2}^2 {\int\limits_{ - 1}^1 {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } } } } \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\arctan \left( {\frac{1}{2i^2}} \right)} } \right)dxdxdx \)
  
  \item กำหนดให้ \( S = \{ (x,y,z) \in I \times I \times I|x^2 + y^2 + z^2 + 3 < xy + 3y + 2z\}  \),
  
  \( D = \{ xy + z|(x,y,z) \in S\} \)
  
  ถ้า \( k - \sum\limits_{i = 1}^{2550} {\frac{(i + 1)^2 + 1}{(i + 1)^2 - 1}} + 2551 \) เป็นสมาชิกของ \(D\)
  
  จงหาค่าของ \( \frac{a^2 (k - b)(k - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{b^2 (k - c)(k - a)}{(b - c)(b - a)} + \frac{c^2 (k - a)(k - b)}{(c - a)(c - b)}\)
  
  \item ถ้าจำนวนเต็มบวก \(m\) หาร \(3684\) และ \(7752\) แล้วเหลือเศษเป็น \(p\) และ \(3p\) ตามลำดับ ถ้า \(p\) เป็นจำนวนเฉพาะ จงหาค่าของ \(m+p\) ทั้งหมดที่เป็นไปได้
  
  \item ในวันก่อนสอบ TUM5$^{\text{th}}$O ปรากฏว่าอาหารที่เก็บไว้ในห้องพักแห่งหนึ่งแถวๆเอกมัยถูกขโมยไป หลังจากนั้นได้พบผู้ต้องสงสัย 5 ราย ซึ่งเป็นเพื่อนกัน คือ Ic, St, Ga, Ju, Bo โดยเพื่อไม่ให้ผู้สอบสวนคิดว่าผู้ที่พูดเท็จต้องเป็นขโมย ทั้ง 5 คน จึงพูดความจริงรวมกันมากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ ถามว่า มีประโยคคำพูดที่เป็นจริงทั้งหมดกี่ประโยค และ ใครเป็นขโมย เมื่อผู้ต้องสงสัยทั้งห้าพูดดังนี้
  
  \begin{center}
    \begin{tabular}{| c | c | c |}
      \hline
      ผู้ต้องสงสัย & ประโยคที่ 1 & ประโยคที่ 2 \\
      \hline
      Ic & ผมไม่ได้ขโมย & ประโยคแรกที่ Ga พูดไม่จริง \\
      \hline
      St & Bo ไม่ได้ขโมย & ประโยคแรกที่ Ic พูดไม่จริง \\
      \hline
      Ga & St หรือ Ju ขโมย & St ขโมย \\
      \hline
      Ju & St พูดจริง & Ic ขโมย \\
      \hline
      Bo & Ga พูดจริง & ประโยคแรกที่ Ju พูดจริง \\
      \hline
    \end{tabular}
  \end{center}
\end{enumerate}

\textbf{ตอนที่ 3}	จงเขียนเฉพาะคำตอบลงในกระดาษคำตอบ (ข้อ 19-25 ข้อละ 5 คะแนน)
	
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{18}
  \item กำหนดข้อมูลทางสถิติ \( 1,2,2,3,4,4,5,6,6,\ldots,n - 1,n,n \) โดยที่ \( 2 | n \) และให้ \(m\) เป็นมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้ ค่ามาตรฐานของ \(m\) มีค่าเท่ากับ \( \frac{1}{\sqrt{146}} \) จงหาค่าของ \(m+n\)
  
  \item ให้ \(A = \{ 0,1,2,...,2550\}  \) จงหาจำนวนวิธีเลือกสมาชิกสี่ตัว \(a, b, c, d\) จากเซต \(A\) โดยที่ \(a^3 + b^3 + c^3 + d^3 - 2007\) หารด้วย \(7\) ลงตัว
  
  \item ให้ \(a_1,a_2,a_3, \ldots \) เป็นลำดับของจำนวนจริงบวกที่กำหนดโดยสมการ 
  
  \( a_{n + 2} = \left\{ \begin{gathered} \frac{4a_{n + 1}^3 + 9a_{n + 1} a_n^2}{12a_n^2},2a_{n + 1} \leqslant 3a_n \hfill \\  \sqrt {\frac{12a_{n + 1}^3 - 9a_n a_{n + 1}^2}{4a_n}} ,2a_{n + 1} > 3a_n \hfill \\  \end{gathered} \right. \) สำหรับทุก \( n = 1,2,3,\ldots \) และ 
  
  \(a_1 = 30, a_2 = 80\) สมมติว่า \(b_i = \frac{a_i}{3a_{i-1}}\) สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก \( i \geqslant 2 \)
  
  จงหาว่าลำดับ \(b_2,b_3,b_4, \ldots\) เป็นลำดับลู่เข้าหรือลู่ออก และถ้าลู่เข้า จงหาลิมิตของลำดับ
  
  \item กำหนด \(f(x) = \left[ {\begin{array}{*{20}c} x & 2 & {-1} \\ {x+1} & {-x^2 } & 3 \\ x & {2x} & {-2} \\ \end{array} } \right] \), 
  
  \(g(x) =\) หรม. ของ \(x\) กับ \(210\),
  
  \(h(x) =\) เศษจากการหาร \(x\) ด้วย \(20\) ,
  
  \(i(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{8}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 6x + \frac{5}{7}\)
  
  จงหาค่าของ \( n\left( {P\left( {\left\{ {h\left( {g\left( {\det (f(x)) - i'\left( x \right)} \right)} \right)\left| {x \in R_h } \right.} \right\}} \right)} \right) \)
  
  \newpage
  
  \item จังหวัดหนึ่งมีถนนเชื่อมระหว่างอำเภอ \(A,B,C,D,E,F,G\) แทนด้วยกราฟ \(Z\) มีระยะทางระหว่างอำเภอ ดังรูป
  
  \begin{center}
    \includegraphics[height=5cm]{tum5-1-23.png}
  \end{center}

  ให้ \(H\) เป็นต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุดของกราฟ \(Z\) มีผลรวมค่าน้ำหนักเท่ากับ \(a\)
  
  \(P_1\) เป็นวิถีที่สั้นที่สุดจากอำเภอ \(A\) ไปอำเภอ \(E\) มีระยะทาง \(x\)
  
  \(P_2\) เป็นวิถีที่ยาวที่สุดจากอำเภอ \(A\) ไปอำเภอ \(E\) มีระยะทาง \(y\)
  
  กราฟ \(Y\) เป็นกราฟเชื่อมโยงที่มีจุดยอด \(\left| {a - x} \right|\) จุด เส้นเชื่อม \(2y\) เส้น ที่ไม่มีวงวน
  
  จงหาจำนวน \underline{คู่ของเส้นเชื่อมขนาน} ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของกราฟ \(Y\)

  \item ให้วงกลม \(3\) วงจุดศูนย์กลางที่จุด \(A,B,C\) ตามลำดับ มีจุดร่วมคือจุด \((0,3)\) และเส้นสัมผัสร่วมคือ \(y+1=0\) ถ้า \(A(x,y)\) เป็นจุดในระนาบ \(XY\) ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ \(\frac{(y - 3)^{2549} (y - 1)}{(x + 4)^{2006} (3 - y)} \geqslant 0\) , \(B\) อยู่ในจตุภาคที่ \(1\) ซึ่งระยะระหว่าง \(A\) และ \(B\) เท่ากับ \(3\) หน่วย และ เซตของจุด \(C(a,b)\) เป็นความสัมพันธ์จาก \(\{ -6\sqrt 2 \}\) ไปยังเซตของจำนวนจริง จงหาสมการเส้นตรง \(BC\)
  
  \item พฤติกรรมของสัตว์ชนิดหนึ่งเป็นแบบมีทิศทางแน่นอน (Taxis) โดยสัตว์ชนิดนี้จะบินทำมุม \(\theta \ne 90^\circ\) กับทิศทางของแสงเข้าหาแหล่งกำเนิดแสง สมมติว่าตอนเริ่มต้น สัตว์ชนิดนี้อยู่ห่างจากแหล่งกำเนิดแสง \(d\) เมตร จงหาระยะทางที่สัตว์ชนิดนี้บินได้ก่อนถูกไฟไหม้เมื่อถึงแหล่งกำเนิดแสง
\end{enumerate}
\end{document}
  


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ