ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

TUMSO5 รอบที่ 2



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{TUMSO5 รอบที่ 2 จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\newcommand{\choices}[7]{ \begin{tabular}{ p{1.5cm} p{1.5cm} p{1.5cm} p{1.5cm} p{1.5cm} p{1.5cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 & จ. #5 & ฉ. #6 & ช. #7 \end{tabular}}

\newcommand{\choicess}[7]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ จ. #5 & ฉ. #6 & ช. #7 & \end{tabular}}

\newcommand{\choicesss}[7]{ \begin{tabular}{ p{4cm} p{4cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 \\ ง. #4 & จ. #5 & ฉ. #6 \\ ช. #7 & & \end{tabular}}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent ข้อสอบ TUMSO ครั้งที่ 5 รอบที่ 2 \\
สอบวันที่ 9 มกราคม 2550

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 1 กรกฎาคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \ สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 ชมรมคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip

\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% material
\newpage
\setcounter{page}{1}

\begin{center}
  \includegraphics[height=1.5cm]{tumso5_logo.png}\\
  การแข่งขันคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ระหว่างโรงเรียน ครั้งที่ 5 โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา \\
  สอบแข่งขันวิชาคณิตศาสตร์ รอบที่ 2
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item พิจารณาแผนภาพต้นใบต่อไปนี้ 
  
  \begin{center}
    \begin{tabular}{c|c c c c c p{1cm}}
      2 & 2 & 5 & 5 & & & \\
      3 & 0 & 7 & 8 & 1 & 5 & \\
      4 & 0 & 8 & 6 & 9 & & \\
      5 & 1 & 9 & 2 & & & \\
      6 & 7 & 1 & 4 & 0 & 6 & \\
      \multicolumn{6}{c}{ข้อมูลชุดที่ 1} &
    \end{tabular}
    \begin{tabular}{c|c c c c c}
      2 & 1 & 7 & 5 & 9 & \\
      3 & 9 & 4 & 8 & 2 & \\
      4 & 4 & 5 & 1 & & \\
      5 & 7 & 8 & 0 & 0 & \\
      6 & 1 & 2 & 4 & 7 & 2 \\
      \multicolumn{6}{c}{ข้อมูลชุดที่ 2}
    \end{tabular}
  \end{center}

  จงหาว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดใดมีค่ามากกว่ากันและมากกว่าอยู่เท่าไร 
  
  \item วงรีมีจุดปลายแกนเอกและปลายแกนโทคือจุด \((-5,0)\) และ \((0,-3)\) มีจุดโฟกัสคือ \(F_1(f_1,g_1)\), \(F_2(f_2,g_2)\) โดยที่ \(f_1 + g_2 > f_2 + g_1\) ไฮเพอร์โบลาจุดศูนย์กลางที่ \(F_1\) และมีจุดโฟกัสจุดหนึ่งคือ \(F_2\) ตัดวงรี \(3\) จุด คือ \(A,B,C(m,n)\) โดยที่ \(m - |n| \geqslant 3\) พาราโบลาจุดยอดที่จุด \(\left( {\frac{3}{2},0} \right)\) และมีสมการเส้นไดเรกตริกซ์คือ \(x = m + f_2 + \frac{f_1}{2} - g_1\)
  
  จงหาสมการของพาราโบลาดังกล่าว
  
  \item สามเหลี่ยม \(ABC\) มีจุด \(D\), \(E\) อยู่บนด้าน \(BC\) โดยที่ \(D\) อยู่ระหว่าง \(B\), \(E\) ถ้า \(B \hat AD = C \hat AE\), \(BD = 3\), \(DE = 1\), \(AB = 8\), \(AC = 10\) จงหา \(CD:BE\)
  
  \item จงหาค่าของ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\sqrt {(x - 1)^3 + 19} - \sqrt {8(x - 1)^2 - 5(x - 1) - 31} }} {{\sqrt {3x^2 - 4x + 108} - \sqrt {15x + 18} - \sqrt {3x - 6} }}\)
  
  \item ในการเลือกสีมาระบาย icosahedron ซึ่งเป็นรูปทรงที่มี 20 หน้า แต่ละหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จากสีทั้งหมด 7 สี ได้แก่ สีม่วง สีคราม สีน้ำเงิน สีเขียว สีเหลือง สีแสด และสีแดง โดยใช้สีจำนวนน้อยที่สุดที่ทำให้หน้าที่อยู่ติดกัน (มีด้านร่วมกัน) มีสีแตกต่างกัน จะมีวิธีการเลือกสีมาระบายได้ทั้งหมดกี่วิธี 
   
  \item กำหนดข้อมูลเชิงปริมาณทั้งหมด 3 ข้อมูลที่มีผลบวกของกำลังสามค่ามาตรฐานของทั้งสามข้อมูลเท่ากับ 1.875 จงหาผลบวกของกำลังสี่ของค่ามาตรฐานของทั้งสามข้อมูล
  
  \item กำหนดให้ \(\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \infty } \frac{\sin \theta + \sin \theta \cos \alpha + \sin \alpha \cos \theta }{\cos \theta - \cos \theta \cos \alpha + \sin \theta \sin \alpha} = \int\limits_a^b {f(x)dx}\) เมื่อ \(\alpha = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1\)
  
  จงหาค่าของ \(\int\limits_{\frac{a}{c}}^{\frac{b}{c}}{f(cx)dx}\) ในเทอมของ \(\alpha ,c\)
  
  \item ยานอวกาศจอดอยู่บนดาวทะเลซึ่งเมื่อสังเกตจากทุ่งหญ้าอันกว้างขวางสุดลูกหูลูกตาบนเส้นทรอปิกออฟแคนเซอร์มีมุมอาซิมุท 135 องศา มุมเงย 15 องศา ห่างจากโลก 0.2 หน่วยดาราศาสตร์ สามารถบินไปยังดาวซินโดรมได้โดยมีเงื่อนไขที่ว่าต้องบินตรงเท่านั้นและต้องใกล้โลกมากขึ้นเรื่อยๆตลอดระยะทางที่มา จงหาปริมาตรทรงตันที่ดาวซินโดรมสามารถอยู่ได้ (กำหนด 1 หน่วยดาราศาสตร์เท่ากับ 150 จิกะเมตรหรือ \(1.5 \times 10^{11} m\))
  
  \item กำหนด \(A = [a_{ij}]_{n \times n}\) โดยที่ \(a_{ij} = j^{i - 1}\),
  
  \(B = [b_{ij} ]_{n \times n}\) โดยที่ \(b_{ij} = \sin ^i x \cdot \cos ^j x\) และ 
  
  \(S_n =\) ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเมตริกซ์ \(A^{ - 1} B\)
  
  จงหา \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } S_n\) เมื่อ \(\theta = \arg (20 + 21i)\)
  
  \item ให้ \(ABCD\) เป็นสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้ โดยมี \(EC\) และ \(ED\) เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด \(C\) และ \(D\) ตามลำดับ. ให้ \(F\) เป็นจุดตัดของ \(AC\) และ \(BD\). ให้ \(G\) เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง \(FC\). ลาก \(GH\) ขนานกับ \(CD\) ตัด \(EC\) ที่จุด \(H\). วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม \(ADG\) ตัดวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม \(BCH\) ที่ \(I\) และ \(J\). เส้นตรง \(IJ\) ตัด \(CD\) ที่ \(K\). ถ้า \(I \hat FB = 42^\circ\), \(I \hat KD = 100^\circ\), \(C \hat AD = 63^\circ\). จงหาขนาดของมุม \(C \hat AB\)
  
  \item จงหาค่าของ \(\frac{2\sqrt 3 \cos 50^ \circ  + 3}{\tan 50^ \circ \tan 100^ \circ} + 2(\cos 100^ \circ  + \cos 200^ \circ )\)
  
  \item กำหนดวงรี \(E\) โฟกัสที่ \(F(-1,-1)\), \(G(3,5)\) มีความเยื้องศูนย์กลางเท่ากับ \(\frac{\sqrt{13}}{5}\). เส้นตรง \(l_1\) ผ่านจุด \(F\) ขนานแกน \(Y\) และเส้นตรง \(l_2\) ผ่านจุด \(G\) ขนานแกน \(X\). ถ้า \(P(a,b)\), \(Q(c,d)\) เมื่อ \(a > 3\), \(d < -1\) เป็นจุดที่เส้นตรง \(l_2\), \(l_1\) ตัดวงรี \(E\) คามลำดับ จงหา \(|PQ| + |PG| + |QF|\)

  \item ให้ \(\prod\limits_{i = 1}^m {\left( {\prod\limits_{j = 1}^n {2^i \cdot 3^{kj}}} \right)} = \left( {\frac{32}{3^{18}}} \right)^{10}\) โดยที่ \(k\) เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ \(n(k - 1)(m + 1)\) ทั้งหมดที่เป็นไปได้ (หมายเหตุ: กำหนด \(\prod\limits_{i = 1}^n {a_i} = a_1 a_2 a_3 \ldots a_n\))
  
  \item จงหาเลข \(3\) หลักสุดท้ายของ \(4^3 - 1^3 + 8^3 - 3^3 + 12^3 - 5^3 + \ldots + 4012^3 - 2005^3\)
  
  \item พิจารณา \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {a + b} & {a + 3b} & {3a + 5b} \\ {ab} & {2ab} & {4ab} \\ a & {a + b} & {3a + b + c} \\ \end{array}} \right]\) เมื่อสุ่มเลือก \(a,b,c\)
  
  จากเซต \(\{ -3,-2,-1,0,1,2,3\}\) จงหาความน่าจะเป็นที่ทำให้ \(\det A > 0\)
\end{enumerate}
\end{document}
  


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ