ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

TUMSO6 รอบที่ 1



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{TUMSO6 รอบที่ 1 จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\newcommand{\choices}[4]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicess}[4]{ \begin{tabular}{p{6cm} l} ก. #1 & ข. #2 \\ ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicessss}[4]{ \begin{tabular}{l} ก. #1 \\ ข. #2 \\ ค. #3 \\ ง. #4 \\ \end{tabular}}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent ข้อสอบ TUMSO ครั้งที่ 6 รอบที่ 1 \\
สอบวันที่ 4 ธันวาคม 2550

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 18 พฤษภาคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \ สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 ชมรมคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip

\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% instruction page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\setcounter{page}{1}

\begin{center}
  \includegraphics[height=1.5cm]{tumso6_logo.png}\\
  การแข่งขันคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ระหว่างโรงเรียน ครั้งที่ ๖ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา \\
  สอบแข่งขันวิชาคณิตศาสตร์ รอบที่ ๑	วันอังคารที่ ๔ ธันวาคม พ.ศ. ๒๕๕๐
\end{center}

\textbf{คำชี้แจง}

\begin{itemize}
  \item ข้อสอบมีทั้งหมด ๒๕ ข้อ คะแนนรวม ๑๐๐ คะแนน แบ่งเป็น ๓ ตอน ได้แก่ \\
  \underline{ตอนที่ ๑} เป็นข้อสอบปรนัยจำนวน ๗ ข้อ คะแนนข้อละ ๒.๕ คะแนน รวม ๑๗.๕ คะแนน \\
  \underline{ตอนที่ ๒} เป็นข้อสอบอัตนัยเติมเฉพาะคำตอบ จำนวน ๑๑ ข้อ คะแนนข้อละ ๔ คะแนน รวม ๔๔ คะแนน \\
  \underline{ตอนที่ ๓} เป็นข้อสอบอัตนัยเติมเฉพาะคำตอบ จำนวน ๗ ข้อ คะแนนข้อละ ๕.๕ คะแนน รวม ๓๘.๕ คะแนน
  \item มีเวลาในการทำข้อสอบ ๒ ชั่วโมง ๓๐ นาที ตั้งแต่เวลา ๙.๐๐ - ๑๑.๓๐ น.
  \item ไม่อนุญาตให้เปิดข้อสอบก่อนได้รับอนุญาตจากกรรมการคุมสอบ
  \item ใช้ปากกาสีน้ำเงินหรือดำเท่านั้นในการตอบ
  \item ผู้เข้าแข่งขันสามารถทดลงในข้อสอบและสามารถนำข้อสอบกลับไปได้
  \item เพื่อประโยชน์ของผู้เข้าสอบ กรุณากรอกข้อมูลลงในกระดาษคำตอบให้ครบถ้วนและชัดเจน
  \item เมื่อหมดเวลาสอบให้วางปากกาและคว่ำกระดาษคำตอบไว้บนโต๊ะแล้วออกจากห้องสอบทันที ถ้าจะส่งก่อนหมดเวลาให้ยกมือขึ้นเหนือศีรษะเพื่อให้กรรมการคุมสอบมาเก็บกระดาษคำตอบ
  \item หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับคำชี้แจงให้ยกมือขึ้นเหนือศีรษะเพื่อสอบถามจากกรรมการคุมสอบ
  \item ไม่อนุญาตให้ใช้เครื่องคำนวณทุกชนิดและห้ามทุจริตในการสอบ
  \item คำตัดสินของคณะกรรมการจัดสอบถือเป็นข้อยุติ
\end{itemize}

\textbf{การตอบข้อสอบในกระดาษคำตอบ}

\begin{itemize}
  \item ตอนที่ ๑ ให้กากบาทคำตอบที่ถูกต้องเพียงข้อเดียวในกระดาษคำตอบ 
  \item ตอนที่ ๒ และ ๓ ให้เขียนตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อตามที่กำหนดไว้ให้ โดยให้ตอบในรูปที่ง่ายที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ ข้อสอบบางข้อจะมีคำชี้แจงในการตอบ ให้ปฏิบัติตามคำชี้แจงนั้นอย่างเคร่งครัด ให้เขียนคำตอบอย่างชัดเจน และถูกต้องตามหลักคณิตศาสตร์
\end{itemize}
  
\textbf{ข้อตกลงในข้อสอบ}

\begin{itemize}
  \item \(Z^ +\) แทนเซตของจำนวนเต็มบวก ซึ่งหมายถึงเซต  \(\{ 1, 2, 3, \ldots \} \)
  \item เศษส่วนอย่างต่ำ หมายถึง จำนวนในรูป  \(\frac{m}{n}\) โดยที่  \(m\) เป็นจำนวนเต็ม และ  \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่หรม.ของ  \(m\) และ  \(n\) เป็น  \(1\) 
\end{itemize}

% material
\newpage

\textbf{ตอนที่ 1}	ให้กากบาทคำตอบที่ถูกต้องเพียงข้อเดียวในกระดาษคำตอบ

(ข้อ 1-7 ข้อละ 2.5 คะแนน)
	
\begin{enumerate}
  \item จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
  \begin{itemize}
    \item[(ก)] ลำดับอนันต์ที่นิยามโดย \(a_n = ( - 1)^{n + 1} \) สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก \(n\) เป็นลำดับแกว่งกวัด
    \item[(ข)] ให้ \(O\) เป็นจุดกำเนิด กำหนดจุด \(P(a_1 ,a_2 ,a_3 )\) และกำหนด \(A, B, C\) เป็นมุมที่วัดจากแกนพิกัดด้านบวกทั้งสามตามลำดับไปยัง \(\overrightarrow{OP}\) จะเรียก  \(\cos A,\cos B,\cos C\) ว่า โคไซน์แสดงทิศทางของ \(\overrightarrow{OP}\)
  \end{itemize}
  
  ข้อใดกล่าวถูกต้อง
  
  \choicess{(ก) และ (ข) ถูก}{(ก) และ (ข) ผิด}{(ก) ถูกแต่ (ข) ผิด}{(ก) ผิดแต่ (ข) ถูก}
  
  \item ค่าของ  \(\tan (\frac{3\pi}{11}) + 4\sin (\frac{2\pi}{11})\) อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้
  	
  \choices{\((2,3)\)}{\((3,4)\)}{\((4,5)\)}{\((5,6)\)}
  	
  \item จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
  \begin{itemize}
    \item[(ก)] \(\log ab \geqslant 2\sqrt {\log a\log b} \) สำหรับทุกๆจำนวนจริงบวก  \(a,b\) ซึ่ง  \(a \ne 1,b \ne 1,ab \ne 1\)
  	\item[(ข)] \(2^{100} \) เมื่อเขียนในฐานสิบ จะเป็นเลข  \(31\) หลัก (กำหนดให้  \(0.301 < \log 2 < 0.302\))
  \end{itemize}
  
  ข้อใดกล่าวถูกต้อง
  
  \choicess{(ก) และ (ข) ถูก}{(ก) และ (ข) ผิด}{(ก) ถูกแต่ (ข) ผิด}{(ก) ผิดแต่ (ข) ถูก}
  \item ให้ \(A = \{ x|x \in Z^ + ,2^{3x} + 5(2^{x + 2}) = 11(2^{2x}) - 32\} \)
  
  และ  \(B = \{ y|y \in A,y > 2\} \)
  
  ความสัมพันธ์จาก  \(A\) ไป  \(B\) มีทั้งหมดกี่ความสัมพันธ์
  	
  \choices{\(1\)}{\(2\)}{\(3\)}{ข้อ ก. ข. และ ค. ผิด}
  
  \item ให้ \(A = \{ e_1 ,e_2 ,e_3 ,e_4 \} \) โดยที่  \(e_1 ,e_2 ,e_3 ,e_4 \) เป็นจุด  \(4\) จุดที่แตกต่างกันบนระนาบหนึ่ง กราฟ  \(G\) มีเซตของจุดยอดเป็นสับเซตของ  \(A\) และกราฟ  \(G\) เป็นต้นไม้ จงหาว่ามีกราฟ  \(G\) ที่แตกต่างกันกี่กราฟที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว
  
  \choices{\(31\)}{\(35\)}{\(38\)}{ข้อ ก. ข. และ ค. ผิด}
  
  \item ให้  \(\theta \) เป็นจำนวนจริง ซึ่ง  \(\csc \theta \) +  \(\cot \theta \) =  \(\frac{5}{3}\) จงหาค่า  \(\cos \theta \) +  \(\tan \theta \)
  
  \choices{\(\frac{319}{136}\)}{\(\frac{355}{136}\)}{\(\frac{363}{136}\)}{ข้อ ก. ข. และ ค. ผิด}

  \item เมื่อพิจารณาตารางค่าความจริงของประพจน์ 	
  
  \([(p \to q) \vee (r \wedge s)] \leftrightarrow [t \to (u \vee p)]\)
  
  จะมีกี่บรรทัดที่เป็นจริง
  
  \choices{\(36\)}{\(40\)}{\(44\)}{ข้อ ก. ข. และ ค. ผิด}
\end{enumerate}

\textbf{ตอนที่ 2}	จงเขียนเฉพาะคำตอบลงในกระดาษคำตอบ (ข้อ 8-18 ข้อละ 4 คะแนน)
	
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item ให้ \(m\) เป็นคอร์ดร่วมของวงกลม \((x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25\) และ \((x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 169\)
  
  จงหาสมการของวงกลมซึ่งมี \(m\) เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง 
  
  (ตอบในรูป \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r\) โดยที่ \(h,k,r\) เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ) 
  
  \item จงหาค่าของ  \(\frac{2\cos 40^ \circ  + 1}{2\tan ^2 40^ \circ} - 3\cos 40^ \circ\) (ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ)
  
  \item ให้ \(a\) เป็นจำนวนจริงบวก 
  
  เส้นตรง \(k\) สัมผัสวงกลม \(x^2 + y^2 = 2a^2 \) และสัมผัสพาราโบลา \(y^2 = 8ax\) 
  
  จงหาสมการของ \(k\) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ตอบในรูป \(y = mx + c\))
  
  \item จุด \(F\) และจุด \(E\) เป็นจุดบนด้าน \(AB\) และ \(CD\) ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า \(ABCD\) ตามลำดับ โดยที่สี่เหลี่ยม \(AFCE\) เป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ถ้าด้าน \(AB\) ยาว \(16\) หน่วย และด้าน \(BC\) ยาว \(12\) หน่วยแล้ว จงหาความยาวของส่วนของเส้นตรง \(EF\)

  \item นักเรียน \(20\) คนนั่งรอบโต๊ะกลม ครูต้องการเลือกนักเรียน \(8\) คนไปช่วยงาน โดยที่ในนักเรียนกลุ่มที่ถูกเลือก ไม่มี \(2\) คนใดๆนั่งติดกัน จงหาว่าครูจะสามารถเลือกได้กี่วิธี
  
  \item ให้ \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวก และกำหนดให้ \(\sum\limits_{i = 0}^n {9^i } = \left( \begin{gathered}
   k \hfill \\
   2 \hfill \\ 
  \end{gathered} \right)\)
  
  จงหาค่าของ \(k\) ในรูป \(n\)
  
  \item จงหาคู่อันดับ \((x,y)\) ของจำนวนจริงทั้งหมด ซึ่งสอดคล้องสมการ \[(x^2 + y^2 - 4)^2 (xy - 1)^2 + \sqrt {y^2 - x^2 } = 0\]
  
  \item ให้ \(a,b,c,d,x,y,z,u\) เป็นจำนวนจริง ซึ่ง \(a,b,c,d,x,y,z,u \notin \{ - 1,0,1\} \) และ \(ax + by + cz + du \ne 0\)
  
  สมมติว่า \(x = by + cz + du\), \(y = cz + ax + du\), \(z = ax + by + du\), \(u = ax + by + cz\)
  
  ให้ \(S = \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b} + \frac{c}{1 + c} + \frac{d}{1 + d}\) 
  
  จงหาค่า \(7S^2 \)

  \item ให้ \(a,b,c\) เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 3(b - c)(a - b)\) และ \(a,b,c \leqslant 5\) จงหาจำนวนของสามสิ่งอันดับ \((a,b,c)\) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
  
  \item จงหาเซตของจำนวนจริงซึ่ง จำนวนจริง \(a\) เป็นสมาชิกของเซตนี้ ก็ต่อเมื่อ อสมการ \(\sqrt {4 + 3x} \geqslant x + a\) ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม
  
  \item ในสี่เหลี่ยมนูน \(ABCD\) เราทราบว่า \(B\hat AD = A\hat BC = 60^ \circ\), ด้าน \(AD\) ยาว \(50\), ด้าน \(DC\) ยาว \(25\) และด้าน \(CB\) ยาว \(30\) 
  
  จงหา \(|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}|\)
  
  (สี่เหลี่ยมนูน หมายถึง สี่เหลี่ยมที่เมื่อลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดยอด 2 จุดใดๆ ทุกจุดบนส่วนของเส้นตรงนั้นจะไม่อยู่นอกสี่เหลี่ยมนั้น)
\end{enumerate}

\textbf{ตอนที่ 3}	จงเขียนเฉพาะคำตอบลงในกระดาษคำตอบ (ข้อ 19-25 ข้อละ 5.5 คะแนน)
	
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{18}
  \item จงหาจำนวนคู่อันดับ \((x,y)\) ของจำนวนจริง ซึ่ง \(x,y \in (0,\frac{\pi }{2})\) และ \(\sin x + \sin y = \sin (xy)\)
  
  \item ให้ \(x_1 ,x_2 ,x_3 ,x_4 ,x_5 ,x_6 \) เป็นรากทั้ง \(6\) ของพหุนาม
  \[P(x) = x^6 - (4 + \sqrt 3 )x^5 + (4\sqrt 3 + 1)x^4 + 4x^3 - (32 + 8\sqrt 3 )x^2 + (8 + 32\sqrt 3 )x - 32\]
  สมมติว่า \(\sum\limits_{i = 1}^6 {(\arg (x_i ))^4 } = k\pi ^4 \) จงหาค่า \(k\) 
  
  (พิจารณาเฉพาะค่า \(\arg \) ที่อยู่ในช่วง \([0,2\pi )\) และให้ตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ)
  
  \item ให้ \(a,b,c,d,a',b',c',d'\) เป็นจำนวนจริง ซึ่ง\(a,b,a',b' \ne 0\), \(\frac{a}{b} \ne \frac{a'}{b'}\), \(c \ne d\) และ \(c' \ne d'\) สมมติว่า เส้นตรง \(ax + by + c = 0\), \(ax + by + d = 0\), \(a'x + b'y + c' = 0\) และ \(a'x + b'y + d' = 0\) ปิดล้อมพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
  
  จงหาค่าของ \(\frac{c - d}{c' - d'}\) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ตอบในรูปของ \(a,b,a',b'\))
   
  \item ฐานันดร์มีกล่องลูกบาศก์ \(10^6 \) กล่อง นรุตม์ทราบว่าฐานันดร์ต้องการจะนำกล่องทั้ง \(10^6 \) กล่อง มาประกอบกันเป็นลูกบาศก์ขนาด \(100 \times 100 \times 100\) โดยที่ทั้งกล่องเป็นสีขาวเมื่อมองจากด้านนอก นรุตม์ไม่ต้องการให้ฐานันดร์ประกอบได้สำเร็จ ระหว่างที่ฐานันดร์ไม่อยู่บ้าน นรุตม์จึงเอาสีดำมาทากล่องของฐานันดร์ อยากทราบว่านรุตม์จะต้องทาอย่างน้อยกี่หน้า จึงจะมั่นใจได้ว่า เมื่อฐานันดร์กลับมาบ้านเขาจะไม่มีโอกาสประกอบกล่องได้สำเร็จตามต้องการ 
  
  \newpage
  
  \item สำหรับจำนวนเต็มบวก \(n\) ใดๆ ให้ \(f(n)\) เป็นผลบวกของเลขโดดในหลักคี่ของ \(n\) ให้ \(g(n)\) เป็นผลบวกของเลขโดดในหลักคู่ของ \(n\) (การนับหลักจะนับจากขวาไปซ้าย) และให้ \(h(n) = f(n) - g(n)\)
  
  (เช่น \(n = 245346\) จะได้ \(f(n) = 4 + 3 + 6 = 13\), \(g(n) = 2 + 5 + 4 = 11\)  และ \(h(n) = f(n) - g(n) = 13 - 11 = 2\))
  
  ให้ \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
     {a + c + 2b} & b & {c + 2b} \\
     {c + b + 2a} & a & {b + 2a} \\
     {c - a} & {c - a} & {2c - a - b} \\
     \end{array} } \right]\) 
  
  ให้ \(N\) เป็นจำนวนของสามสิ่งอันดับ \((a,b,c)\) ซึ่ง \(a,b,c\) เป็นจำนวนเต็มโดยที่ \( - 2007 \leqslant a < b < c \leqslant 2007\) และทำให้ \(\det A > 0\) 
  
  จงหา \(h(N)\)
  
  \item จงหาผลบวกของจำนวนสี่หลัก \(m\) ทั้งหมดซึ่งน้อยกว่า \(2007\) และมีจำนวนเต็มบวก \(n < m\) ซึ่ง \(m - n\) มีตัวหารบวกอย่างมาก \(3\) ตัว และ \(mn\) เป็นกำลังสองสมบูรณ์
  
  \item ให้ \(a\) เป็นจำนวนจริงที่มากที่สุดที่ทำให้ สำหรับจำนวนจริง \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \) ใดๆ
   
   เรามีว่า \(x_1 ^2 + x_2 ^2 + x_3 ^2 + x_4 ^2 + x_5 ^2 \geqslant a(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_4 + x_4 x_5 )\)
   
   จงหาค่า \(a^2 \) (ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ)
\end{enumerate}
\end{document}
  


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ