ดาวน์โหลดไฟล์ PDF

TUMSO6 รอบที่ 2



Transcripts (XeLaTex)

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{Times New Roman}
\setsansfont{Arial}
\newfontfamily{\thaifont}[Scale=1.9]{TH SarabunPSK}
\newfontfamily{\thaifontsf}[Scale=1.9]{Thonburi}
\setdefaultlanguage{thai}
\XeTeXlinebreaklocale"th"

\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}

\usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.9in, right=1in]{geometry} 

\DeclareMathSizes{12}{12}{11}{10}

% header & footer
\usepackage{fancyhdr} 
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\lfoot{TUMSO6 รอบที่ 2 จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}}
\rfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt}

\usepackage{hyperref}

\newcommand{\choices}[4]{ \begin{tabular}{ p{3cm} p{3cm} p{3cm} l} ก. #1 & ข. #2 & ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicess}[4]{ \begin{tabular}{p{6cm} l} ก. #1 & ข. #2 \\ ค. #3 & ง. #4 \\ \end{tabular}}

\newcommand{\choicessss}[4]{ \begin{tabular}{l} ก. #1 \\ ข. #2 \\ ค. #3 \\ ง. #4 \\ \end{tabular}}

\begin{document}

% cover page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent ข้อสอบ TUMSO ครั้งที่ 6 รอบที่ 2 \\
สอบวันที่ 4 ธันวาคม 2550

\bigskip

\noindent ปรับปรุงครั้งล่าสุดวันที่ 18 พฤษภาคม 2552

\bigskip

\noindent \copyright \ สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2552 ชมรมคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา

\bigskip

\noindent อนุญาตให้นำไปเผยแพร่ต่อได้ ภายใต้\href{http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/th/}{สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์แบบแสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย}

\bigskip

\noindent ดาวน์โหลดฉบับปรับปรุงครั้งล่าสุดได้จาก \href{http://www.kukkai.org}{http://www.kukkai.org}

% instruction page
\newpage
\thispagestyle{empty}
\setcounter{page}{1}

\begin{center}
  \includegraphics[height=1.5cm]{tumso6_logo.png}\\
  การแข่งขันคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ระหว่างโรงเรียน ครั้งที่ ๖ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา \\
  สอบแข่งขันวิชาคณิตศาสตร์ รอบที่ ๒	วันอังคารที่ ๔ ธันวาคม พ.ศ. ๒๕๕๐
\end{center}

\textbf{คำชี้แจง}

\begin{itemize}
  \item ข้อสอบนี้เป็นข้อสอบแข่งขันวิชาคณิตศาสตร์รอบที่ ๒ ในการแข่งขันคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ระหว่างโรงเรียน ครั้งที่ ๖ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา
  \item การแข่งขันรอบที่ ๒ มีทั้งหมด ๑๐ ข้อ ทำทีละ ๑ ข้อ คะแนนข้อคี่ข้อละ ๒ คะแนน ข้อคู่ข้อละ ๓ คะแนน
  \item เวลาในการทำข้อสอบแต่ละข้อจะแจ้งให้ทราบก่อนได้รับโจทย์ และมีกำหนดไว้ในกระดาษคำตอบแล้ว
  \item การตอบข้อสอบให้ตอบในช่องที่กำหนดไว้ให้ ส่วนบริเวณอื่นสามารถใช้เป็นพื้นที่สำหรับทด
  \item ในแต่ละข้อให้เขียนชื่อโรงเรียนลงในช่องที่กำหนดไว้ให้ด้านบนอย่างชัดเจน มิฉะนั้นจะไม่ได้รับการตรวจในข้อนั้น
  \item เมื่อแข่งขันครบ ๑๐ ข้อแล้ว ถ้ามีทีมใดได้คะแนนเท่ากันและเป็นอันดับที่ ๑, ๒ หรือ ๓ จะต้องแข่งขันในคำถามสำรอง ซึ่งจะทำการแข่งขันทีละข้อ โดยในแต่ละข้อ จะมีเวลากำหนดไว้ในโจทย์ แต่ผู้เข้าแข่งขันสามารถยกมือเพื่อส่งคำตอบก่อนเวลาได้ โดยถ้ามีทีมที่ตอบถูกมากกว่า ๑ ทีม ทีมที่ส่งก่อนจะถือว่าทำได้ดีกว่าในข้อนั้น ถ้ายังมีทีมที่ทำได้ดีเท่ากัน จะต้องใช้คำถามสำรองข้อต่อไป จนเมื่อคำถามสำรองหมด จะถือว่าทีมที่มีคะแนนรวมในรอบแรกดีกว่าทำได้ดีกว่า ถ้ายังเท่ากันอีก จะถือว่าทีมที่มีผลต่างของคะแนนของผู้เข้าแข่งขันทั้งสองมากกว่าทำได้ดีกว่า และถ้ายังเท่ากันอีก จะใช้วิธีจับฉลาก
\end{itemize}

\textbf{การตอบข้อสอบในกระดาษคำตอบ}

\begin{itemize}
  \item ให้เขียนตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อตามที่กำหนดไว้ให้ โดยให้ตอบในรูปที่ง่ายที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ ข้อสอบบางข้อจะมีคำชี้แจงในการตอบ ให้ปฏิบัติตามคำชี้แจงนั้นอย่างเคร่งครัด ให้เขียนคำตอบอย่างชัดเจน และถูกต้องตามหลักคณิตศาสตร์ 
  \item ในการตอบไม่จำเป็นต้องใส่หน่วย
\end{itemize}
  
\textbf{ข้อตกลงในข้อสอบ}

\begin{itemize}
  \item เศษส่วนอย่างต่ำ หมายถึง จำนวนในรูป  \(\frac{m}{n}\) โดยที่  \(m\) เป็นจำนวนเต็ม และ  \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่หรม.ของ  \(m\) และ  \(n\) เป็น  \(1\) 
\end{itemize}

% material
\newpage

\begin{enumerate}
  \item (กำหนดเวลา 4 นาที)
  
  จงหาจำนวนเต็มบวก  \(n\) ทั้งหมดที่ทำให้
  \[\frac{1^2  + 3^2  + 5^2  + \ldots + (2n - 1)^2}{2^2  + 4^2  + 6^2  + \ldots + (2n)^2 } = \frac{85}{88}\]
  
  \item (กำหนดเวลา 6 นาที)
  
  จากการเก็บข้อมูลคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาฟิสิกส์ของนักเรียน  \(5\) คน ได้ผลดังต่อไปนี้
  \begin{center}
    \begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c |}
      \hline
      นักเรียน & ทศพร & ธนาธิป & อาลันณ์ & พล & ชนุตม์ \\
      \hline
      คณิตศาสตร์ & \(98\) & \(95\) & \(82\) & \(87\) & \(95\) \\
      \hline
      ฟิสิกส์  & \(76\) & \(82\) & \(81\) & \(91\) & \(69\) \\
      \hline
    \end{tabular}
  \end{center}
  
  ให้ \(A\) เป็นสัมประสิทธิ์ของพิสัยของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ \\
  \(B\) เป็นสัมประสิทธิ์ของพิสัยของคะแนนวิชาฟิสิกส์ \\
  \(C\) เป็นสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ \\
  \(D\) เป็นสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของคะแนนวิชาฟิสิกส์
  
  จงเรียงลำดับ  \(A,B,C,D\) จากมากไปน้อย
  
  \item (กำหนดเวลา 4 นาที)
  
  กำหนดให้  \([x]\) หมายถึง จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าไม่เกิน  \(x\)
  
  ให้  \(l_1\) และ  \(l_2\) เป็นเส้นตรง  \(2\) เส้นที่แตกต่างกันที่สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้
  
  \begin{itemize}
    \item[(ก)] ผ่านจุด  \((0,1)\)
    \item[(ข)] สัมผัสวงกลม  \((x - 2006)^2  + (y - 2007)^2  = 1\)
  \end{itemize}
  
  ให้  \(m_1\) เป็นความชันของ  \(l_1\) และ  \(m_2\) เป็นความชันของ  \(l_2\)
  
  จงหา  \([m_1 m_2 ]\)
  
  \item (กำหนดเวลา 5 นาที)
  
  บันไดมีทั้งหมด  \(15\) ขั้น บัณฑิตย์ต้องการขึ้นบันไดโดยที่ในการก้าวแต่ละครั้ง เขาจะก้าวอย่างน้อย  \(3\) ขั้น ยกเว้นในกรณีที่เป็นการก้าวครั้งแรกหรือการก้าวครั้งสุดท้าย เขาอาจก้าวกี่ขั้นก็ได้ จงหาว่าเขาจะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี
  
  \item (กำหนดเวลา 4 นาที)
  
  จงหาจำนวนคำตอบในช่วง  \([0,2\pi ]\) ของสมการ \(\sin x + \sin 15x + \sin 29x = 0\)
  
  \item (กำหนดเวลา 4 นาที)
  
  ให้  \(F_n\) เป็นลำดับซึ่งกำหนดโดย \(F_1 = 1, F_2 = 1\) และ  \(F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_n\) สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก \(n\)
    
  จงหา  \(\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{F_k}{3^k}}\) (ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ)
  
  \item (กำหนดเวลา 4 นาที)
  
  วงกลม \(C_1\) รัศมี \(1\) หน่วย และวงกลม \(C_2\) รัศมี \(4\) หน่วย สัมผัสกันภายนอก ให้ \(k\) เป็นเส้นสัมผัสร่วมเส้นหนึ่งของวงกลมทั้งสอง โดยสัมผัส \(C_1\) ที่จุด \(A_1\) และสัมผัส \(C_2\) ที่จุด \(A_2\) (\(A_1 \ne A_2\)) วงกลม \(C_3\) สัมผัสภายนอกกับวงกลม \(C_1\) และ \(C_2\) และสัมผัสเส้นตรง \(k\) กำหนดให้ \(C_3\) มีรัศมีน้อยกว่า \(1\) หน่วย จงหารัศมีดังกล่าวนั้น (ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ)
  
  \item (กำหนดเวลา 7 นาที)
  
  กล้าก้าววางเรือบนกระดาน \(8 \times 8\) ทีละตัว โดยทำตามข้อปฏิบัติต่อไปนี้
  
  \begin{itemize}
    \item[(ก)] เรือตัวแรกสามารถวางในช่องใดก็ได้
    \item[(ข)] เรือตัวต่อๆไป เมื่อวางแล้วจะต้องสามารถกินเรือที่อยู่บนกระดานอยู่แล้วเป็นจำนวนคี่ตัว
  \end{itemize}
  
  จงหาว่า กล้าก้าวจะวางหมากได้อย่างมากกี่ตัว
  
  (เรือ \(A\) สามารถกินเรือ \(B\) ได้ ก็ต่อเมื่อ เรือ \(A\) และเรือ \(B\) อยู่ในแถวเดียวกันหรือหลักเดียวกัน และไม่มีเรืออยู่ระหว่างเรือ \(A\) และเรือ \(B\))
  
  \item (กำหนดเวลา 3 นาที)
  
  จากการสอบถามคน \(100\) คนเกี่ยวกับความชอบในด้านกีฬา พบว่าทุกคนชอบกีฬาอย่างน้อย \(1\) ชนิดใน \(3\) ชนิดที่สอบถาม คือ บาสเกตบอล เบสบอล และแบดมินตัน มีคน \(28\) คนที่ชอบทั้งบาสเกตบอลและแบดมินตัน มี \(24\) คนชอบบาสเกตบอลและเบสบอล มี \(59\) คนชอบเบสบอลหรือแบดมินตันแต่ไม่ชอบบาสเกตบอล มี \(67\) คนชอบแบดมินตัน และมี \(45\) คนที่ชอบกีฬาเพียงชนิดเดียว นอกจากนี้ มีคนที่ชอบแบดมินตันเพียงอย่างเดียวมากกว่าคนที่ชอบเบสบอลเพียงอย่างเดียวอยู่ \(4\) คน จงหาว่ามีกี่คนที่ชอบบาสเกตบอลเพียงอย่างเดียว
  
  \item (กำหนดเวลา 5 นาที)
  
  ให้ \(a,b,c,x,y,z\) เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ไม่มีจำนวนใดเป็นศูนย์ ซึ่งสอดคล้องเงื่อนไข
  \[a = \frac{b + c}{x - 2}, b = \frac{a + c}{y - 2}, c = \frac{a + b}{z - 2}\]
  กำหนดให้ \(xy + yz + zx = 2550\) และ \(x + y + z = 2007\)
  
  จงหาค่าของ \(xyz + 953\)
  
  \item (กำหนดเวลา 4 นาที)
    
  กำหนดให้ \(a\), \(\theta\) เป็นจำนวนจริง 
  
  ให้ \(p\) เป็นความยาวของส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดกำเนิดไปตั้งฉากกับเส้นตรง  \(x(\sec \theta ) + y(\csc \theta ) = a\) และ \(q\) เป็นความยาวของส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดกำเนิดไป ตั้งฉากกับเส้นตรง \(x(\cos \theta ) - y(\sin \theta ) = a(\cos 2\theta )\)
  
  จงหาค่า \(\frac{p^2}{a^2 - q^2}\) (ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ)
  
  \item (กำหนดเวลา 4 นาที)
  
  ให้จุดโฟกัสทั้งสองของวงรี \(G\) เป็นจุดเดียวกับจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลา \(9x^2 - 16y^2 - 18x - 64y - 199 = 0\) และความยาวแกนโทของ \(G\) เป็น \(3\) เท่าของความยาวของ latus rectum ของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด \((1,1)\) แกนขนานกับแกน \(x\) และผ่านจุด \((-2,3)\) ถ้าสมการของ \(G\) คือ \(\frac{(x - h)^2}{a} + \frac{(y - k)^2}{b} = 1\) แล้ว จงหา \(h + k + a + b\)
  
  \item (กำหนดเวลา 5 นาที)
  
  จุด \(P\) อยู่ภายในสามเหลี่ยม \(ABC\) และทำให้มุม \(P\hat AB\), \(P\hat BC\), \(P\hat CA\) มีขนาดเท่ากัน สามเหลี่ยม \(ABC\) มีด้านยาว \(26\), \(28\) และ \(30\) หน่วย จงหาค่า \(\tan P\hat AB\) (ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ)
  
  \item (กำหนดเวลา 5 นาที)
  
  สำหรับจำนวนเต็มบวก \(a,b\) ใดๆ ให้ \((a)_b\) เป็นพหุคูณของ \(b\) ที่มีค่าใกล้เคียง \(a\) มากที่สุด สำหรับจำนวนเต็มบวก \(k\) ใดๆ ให้ \(f(k) = (k)_3 + (2k)_5 + (3k)_7 - 6k\)
  
  จงหาเรนจ์ของ \(f\)
  
  \item (กำหนดเวลา 3 นาที)
  
  จงหาคู่อันดับ \((m,n)\) ของจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ซึ่ง \(m^2 - n^2 = 96\)
  
\end{enumerate}
\end{document}
  


* ขอความกรุณาผู้ที่ต้องการช่วยเผยแพร่เอกสาร ทำลิ้งก์กลับมาที่หน้านี้แทนการอัพโหลดเอกสารที่อื่น เพื่อให้ผู้ดาวน์โหลดได้รับเอกสารฉบับล่าสุดตลอดเวลาครับ